trójkąt na płaszczyźnie

[Matematyk111]

Znajdź trzy wierzchołki dowolnego trójkąta równoramiennego leżącego na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \vec{r} = \vec{r_{0}} + \alpha \vec{d_{1}} + \beta \vec{d_{2}}}\). Dane są \(\displaystyle{ \vec{r_{0}}, \vec{d_{1}}, \vec{d_{2}}}\). Należy podać \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) dla każdego wierzchołka.

[scyth]

Tak ogólnie czy masz konkretne wartości?

[Matematyk111]

Tak ogólnie. Nie mam na to pomysłu

[Katia_bz]

mnie tez by sie to bardzo przydalo,.. nie umiem tego ruszyc.
od znajomych wiem ze to prawdopodobnie powinno byc cos takiego

wierzcholek 1
\(\displaystyle{ \alpha=0 \beta=0}\)

wierzcholek 2
\(\displaystyle{ \alpha=1 \beta=0}\)

wierzcholek 3
\(\displaystyle{ \alpha=0 \beta= \frac{d _{1} }{d _{2} }}\)

moze ktos potrafil to rozpisac i powie dlaczego to tak ma byc??

[scyth]

Dwa pierwsze wierzchołki wybierasz byle jak (tylko różne punkty mają być). Oblicz odległość między nimi - będziesz wiedzieć gdzie ma być trzeci. Potem skonstruuj punkt o tyle odległy jednocześnie od pierwszego i drugiego (będą dwa). Jak nie trzeba tego na dziś to wieczór mogę spróbować to lepiej rozpisać.

[Katia_bz]

potrzebuje to na poniedziałek.
bardzo proszę jeśli możesz to rozpisz to dokładniej wieczorem:)))

bo mam tez 2gie zadanie z trójkątem prostokątnym ale jeśli będę umieć zrobić to, to z prostokątnym chyba tez sobie poradzę.-- 6 wrz 2012, o 17:42 --próbuje ciągle robić to zadanie i mi nie wychodzi..
potrzebne jest na to równanie płaszczyzny? co do niego podstawić??

[Matematyk111]

Też chętnie zobacze rozwiązanie, bo nie chce mi to wyjść.

[Katia_bz]

niestety mi tez nie wychodzi.

[scyth]

A to jeszcze prostsze niż myślałem, bo to ma być równoramienny a nie równoboczny. No to okej, jedziemy. Mamy dane:
\(\displaystyle{ \vec{r_0}, \vec{d_1}, \vec{d_2}}\)
Dwa punkty możemy wybrać dowolnie, niech więc:
\(\displaystyle{ A=\vec{r_0} \\
B=\vec{r_0}+\vec{d_1}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ |AB| = | \vec{d_1} |}\)
Szukamy punktu \(\displaystyle{ C}\) odległego od \(\displaystyle{ A}\) o \(\displaystyle{ | \vec{d_1} |}\), czyli:
\(\displaystyle{ |AC| = | \vec{d_1} |}\)
Niech \(\displaystyle{ C=\vec{r_0} + \alpha \vec{d_1} + \beta \vec{d_2}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ |AC| = |\alpha \vec{d_1} + \beta \vec{d_2}|}\)
Ponieważ mam znaleźć dowolny trójkąt, ustalam sobie \(\displaystyle{ \alpha = 0}\). Dostaję:
\(\displaystyle{ |\beta \vec{d_2}| = | \vec{d_1} | \\
|\beta | \cdot |\vec{d_2}| = | \vec{d_1} | \\
\Rightarrow \beta = \frac{| \vec{d_1} |}{| \vec{d_2} |}}\)
(znów wybrałem jedną z możliwych wartości).
I tak mam trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\) o ramionach \(\displaystyle{ |AB|=|AC|}\).

[Katia_bz]

o dziekuję to nie takie glupie:)
a powiedz mi jak zapisac dowolny trojkat prostokątny? to bedzie latwe?

[scyth]

Trochę trudniejsze, bo wektory \(\displaystyle{ \vec {d_1}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{d_2}}\) nie muszą być prostopadłe, ale tak czy siak wystarczy skorzystać z iloczynu skalarnego i się powinno udać. Próbuj i daj znać jak wychodzi.

[Katia_bz]

proszę sprawdź czy to co ja "wymyśliłam" ma coś wspólnego z poprawnym rozwiązaniem tego zadania.

dowolny trójkąt prostokątny

dane:\(\displaystyle{ \vec{r_0}, \vec{d_1}, \vec{d_2}}\)
Dwa punkty dowolne:
\(\displaystyle{ A=\vec{r_0} \\ B=\vec{r_0}+\vec{d_1}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{d_1}}\)
Szukamy odcinka AC prostopadłego do AB.
Niech \(\displaystyle{ C=\vec{r_0} + \alpha \vec{d_1} + \beta \vec{d_2}}\).
dowolny trójkąt prostokątny więc:\(\displaystyle{ \alpha = 0}\)
więc odcinek AC: \(\displaystyle{ \vec{AC} = \beta \vec{d_2}}\)

aby odcinki były prostopadłe to iloczyn skalarny musi byc rowny 0.
wiec \(\displaystyle{ \vec{AB} o \vec{AC}=0}\)
\(\displaystyle{ \beta \vec{d_2} o \vec{d_1}=0}\)
wiec aby wyzerować to \(\displaystyle{ \beta=0}\)

czy to bedzie dobrze???-- 7 wrz 2012, o 12:19 --i przepraszam ze odcinki zaznaczam jak wektory ale nei potrafie inaczej tego zapisac.

[scyth]

(...)
dowolny trójkąt prostokątny więc:\(\displaystyle{ \alpha = 0}\)
(...)

Błąd - skąd wiesz, że wektory \(\displaystyle{ \vec{d_1}}\) i \(\displaystyle{ \vec{d_2}}\) są prostopadłe? Nie muszą być.

[Katia_bz]

kurcze no tak... to jak to zapisać?-- 7 wrz 2012, o 13:24 --kurcze no tak... to jak to zapisać?
dowolny trójkąt prostokątny

dane:\(\displaystyle{ \vec{r_0}, \vec{d_1}, \vec{d_2}}\)
Dwa punkty dowolne:
\(\displaystyle{ A=\vec{r_0} \\ B=\vec{r_0}+\vec{d_1}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{d_1}}\)
Szukamy odcinka AC prostopadłego do AB.
Niech \(\displaystyle{ C=\vec{r_0} + \alpha \vec{d_1} + \beta \vec{d_2}}\).
dowolny trójkąt prostokątny
więc odcinek AC: \(\displaystyle{ \vec{AC} = \alpha \vec{d_1}+ \beta \vec{d_2}}\)

aby odcinki były prostopadłe to iloczyn skalarny musi byc rowny 0.
wiec \(\displaystyle{ \vec{AB} o \vec{AC}=0}\)
\(\displaystyle{ (\alpha \vec{d_1}+\beta \vec{d_2} )o \vec{d_1}=0}\)

[scyth]

Dwa boki, czyli dwa wektory, muszą być prostopadłe. Jedne z nich to:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{d_1}}\)
a drugi:
\(\displaystyle{ \vec{AC} = \alpha \vec{d_1} + \beta \vec{d_2}}\)
Liczysz iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \alpha |\vec{d_1}|^2 + \beta \vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}\)
Ma to być równe zero, zatem:
\(\displaystyle{ \alpha |\vec{d_1}|^2 + \beta \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0}\)
Jeśli wektory są prostopadłe to \(\displaystyle{ \alpha=0}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) dowolne (ale niezerowe). Jeśli nie, to:
\(\displaystyle{ \beta \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = - \alpha |\vec{d_1}|^2 \\
\beta = - \frac{\alpha |\vec{d_1}|^2}{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}}\)
a samo \(\displaystyle{ \alpha}\) wybierasz dowolne (ale niezerowe).