Znaleźć płaszczyznę zawierającą prostą i prostopadłą do pł

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć płaszczyznę zawierającą prostą i prostopadłą do pł

Post autor: przemulala »

Witam!


Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania:

"Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającej prostą:

\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x+y-z=1 \\ 2x-y=0 \end{cases}}\)

i prostopadłą do płaszczyzny \(\displaystyle{ H: x+y+2z=0}\)"

Jak podszedłem do tego zadania:
1) płaszczyzna zawiera prostą -> iloczyn skalarny wektora normalnego n płaszczyzny i wektora v prostej L jest równy 0 (kąt między nimi wynosi 90 stopni) ORAZ każdy punkt należący do prostej należy również do płaszczyzny
2) płaszczyzna szukana jest prostopadła do płaszczyzny H -> iloczyn skalarny ich wektorów normalnych n i \(\displaystyle{ n_{1}}\) jest równy 0.

Prosta L po przekształceniu do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x=-t \\ y=-2t \\ z=-3t-1 \end{cases}}\)

Rozwiązując układ równań otrzymuję: \(\displaystyle{ a=b=-c, c=d}\), skąd równanie płaszczyzny szukanej \(\displaystyle{ c(-x-y+z+1)=0}\) i podstawiając dowolny punkt płaszczyzny (np. dla t=2 będzie to \(\displaystyle{ P(-2, -4, -7)}\)) otrzymuję 0=0.

Nie mam pojęcia, gdzie popełniam błąd, wydaje mi się, że rozumowanie jest poprawne. Proszę o pomoc.
kasztan00126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 30 sie 2012, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: traby
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Znaleźć płaszczyznę zawierającą prostą i prostopadłą do pł

Post autor: kasztan00126 »

nie pamietam tego dobrze ale z postaci parametrycznej prostej dało sie wyciagnac wektor kierunkowy i punkt to co stoi przy t to wektor kierunkowy k dla Twojego przypadku to k=[-1,-2,-3] a pumkt to P=[0,0,-1]
przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć płaszczyznę zawierającą prostą i prostopadłą do pł

Post autor: przemulala »

To właśnie zrobiłem... Inaczej nie przeprowadziłbym wyżej przedstawionych obliczeń. Chciałem zaoszczędzić miejsca i sobie czasu, więc nie podawałem kompletnych obliczeń, a jedynie wyniki poszczególnych operacji.

Swoją drogą, doszedłem do rozwiązania tego problemu. Jedyne, co wystarczy zrobić, to pomnożyć wektorowo wektory: normalny danej płaszczyzny H oraz kierunkowy prostej L. W rezultacie otrzymamy wektor normalny szukanej płaszczyzny. Następnie podstawiamy do równania płaszczyzny punkt należący do prostej - chociażby P(0, 0, -1) - i wyznaczamy wyraz wolny d. Gotowe.

Uważam, że w rozumowaniu, które przedstawiłem w pierwszym poście nie ma błędu, dlatego otrzymujemy tożsamość. Po prostu nie prowadzi ono do rozwiązania.
ODPOWIEDZ