równania prostych

[Przemkooo]

Mam takie trzy zadania:

1.Promień świetlny wysłany z punktu \(\displaystyle{ A = (5,9)}\), odbija sie od osi \(\displaystyle{ OX}\) w punkcie \(\displaystyle{ B = (2,0)}\), a nastepnie odbija się od osi \(\displaystyle{ OY}\). Znajdź równanie prostej , po której porusza się promień po odbiciu się od osi \(\displaystyle{ OY}\).

2.Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(2,4)}\) i przecinające proste \(\displaystyle{ 3x+y = 0}\) oraz \(\displaystyle{ x-y + 4 = 0}\) w punktach M i N w taki sposób, że punkt P jest środkiem odcinka MN.

3.Przez poczatek układu współrzędnych oraz punkt \(\displaystyle{ A = (1,3)}\) przechodzą dwie proste równoległe. Znajdź równania tych prostych , wiedząc, że odległość między nimi jest równa \(\displaystyle{ \sqrt[2]{5}}\).

[mat1989]

rozwiąże pierwsze zadanie.
Na początku szukamy punktu na osi OY, w którym odbije się promień.
Wiemy z prawa odbicia że musi on leżeć na prostej do której należą punkty B, oraz punkt (-1,9), a więc tworzymy układ równań i wyznaczamy równanie prostej. Następnie, podstawiamy do tego równania x=0 i znajdujemy y.
i teraz szukamy prostej po której będzie się poruszał promień świetlny.
wiadomo także że do równania tej prostej będzie należał, poprzedni punkt który znaleźliśmy, oraz punkt (2, z), gdzie z będzie równe 2y.

[baksio]

Zad. 3
1 prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ O(0,0)}\) więc będzie ona postaci \(\displaystyle{ y=ax}\)
2 prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(1,3)}\) więc będzie ona postaci:
\(\displaystyle{ y=ax +3-a}\)
Ponieważ mamy dwie proste równoległe więc możemy skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ d=\frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
Przekształcamy te nasze 2 proste do postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ -ax+y+0=0}\) i \(\displaystyle{ -ax+y+a-3=0}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{|0-3+a|}{\sqrt{(-a)^2 +1}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{a^2+1}}}\)
Wiemy że odległośc ma być równa \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) więc rozwiązujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{|a-3|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{5}}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ a=-2 a=\frac{1}{2}}\)

[yoyo12]

zad. 2

mamy 2 proste:
k: 3x+y=0
l: x-y+4=0

należy zauważyć:
że punkt M należy do prostej k
że punkt N należy do prostej l

więc współrzędne tych punktów wynoszą:
M=(m,-3m)
N=(n,4+n)

wiemy że punkt P=(2,4) ma być środkiem tych odcinków, więc korzystamy z ze wzoru na środek odcinka o końcach M i N

po rozwiązaniu n=4 i m=0
czyli:
M=(0,0)
N=(4,8)

i z tych dwóch punktów obliczamy prostą