Sprawdź czy punkty leżą po tej samej stronie płaszczyzny.

[normandy]

Cześć,

jak w temacie mam sprawdzić czy dwa punkty leża po tej samej stronie płaszczyzny.

Nie bardzo mam pomysł jak to wyznaczyć. Na forum znalazłem podobny przykład, lecz sprowadziło się wszystko, tylko do stwierdzenia, iż jeśli wstawimy współrzędne punktów do równania i otrzymamy 0, to należą one do płaszczyzny, jeśli liczby różne od zera tego samego znaku to po tej samej stronie a jak różnego znaku to po przeciwnych stronach.

Dlaczego tak się dzieje? Z czego to wynika?


Dziękuję

[octahedron]

Trudno powiedzieć, bo nie wiadomo, jak to równanie wygląda .

[normandy]

Jest to ogólna zasada, tycząca się każdej płaszczyzny. Tak wynika z tego co znalazłem w sieci.

Pytanie czy prawdziwa, i jeśli tak to dlaczego.

[octahedron]

Nie wiem, o jaką ogólną zasadę chodzi. Najlepiej byłoby napisać to równanie. Mój sposób jest taki: mamy płaszczyznę \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=[A,B,C]}\) jest do niej prostopadły. Bierzemy jakiś punkt na płaszczyźnie, np. \(\displaystyle{ P=\left(0,0,-\frac{D}{C}\right)}\). Dla danych punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) liczymy iloczyny skalarne \(\displaystyle{ \vec{n}\cdot\vec{PA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n}\cdot\vec{PB}}\). Jeśli są jednakowego znaku, to \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą po tej samej stronie płaszczyzny, jeśli nie, to po przeciwnych stronach. Gdy gdzieś wyjdzie zero, to punkt leży na płaszczyźnie.