Punkt przecięcia się 3 płaszczyzn.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
normandy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 1 sty 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żywiec
Podziękował: 2 razy

Punkt przecięcia się 3 płaszczyzn.

Post autor: normandy »

Cześć, rozwiązuje to zadanie i dochodzę do układu równań bez rozwiązania, nie widzę gdzie robię błąd.


Mam wyznaczyć punkt przecięcia 3 płaszczyzn:

1. \(\displaystyle{ 3x+y+z+1=0}\)
2. \(\displaystyle{ x+2z+6=0}\)
3. \(\displaystyle{ 3y+2z=0}\)

Sprowadzam je do postaci parametrycznej.

Znajduje wektory normalne tych płaszczyzn, aby za ich pomocą przy użyciu iloczynu skalarnego odszukać par wektorów rozpinających te płaszczyzny.

Płaszczyzna pierwsza:
\(\displaystyle{ \vec{n_1}=\left[ 3,1,1\right]}\)
Szukam dwóch wektorów, których iloczyn skalarny z wektorem normalnym da zero.
Będą to:
\(\displaystyle{ \vec{u_1} =\left[ 0,1,-1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v_1} =\left[ 0,-1,1\right]}\)

Kolejno powtarzam operacje dla kolejnych płaszczyzn.

Płaszczyzna druga:
\(\displaystyle{ \vec{n_2}=\left[ 1,0,2\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_2} =\left[ 0,2,0\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v_2} =\left[ 2,0,-1\right]}\)

Płaszczyzna trzecia:
\(\displaystyle{ \vec{n_3}=\left[ 0,3,2\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_3} =\left[ 1,0,0\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v_3} =\left[ 1,2,-3\right]}\)


Teraz szukam po jednym punkcie należącym do każdej z tej płaszczyzn, szukając takich 3 liczb aby po wstawieniu do równania było ono prawdziwe.

\(\displaystyle{ P_1 =\left( 1,-3,-1\right)}\)
\(\displaystyle{ P_2 =\left( 0,0,-3\right)}\)
\(\displaystyle{ P_3 =\left( 0,2,-3\right)}\)


Teraz mogę zapisać każdą płaszczyznę w sposób parametryczny:

Pierwsza:

\(\displaystyle{ \left( 1,-3,-1\right)+s(0,1,-1)+t(0,-1,1)}\)

Druga:

\(\displaystyle{ \left( 0,0,3\right)+r(0,2,0)+k(2,0,-1)}\)

Trzecia:

\(\displaystyle{ \left( 0,-2,3\right)+p(1,0,0)+w(1,2,-3)}\)

Tworzę układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1=2k\\2k=p+w\\-3+s-t=2r\\2r=-2+2w\\-1-s+t=-3-k\\-3-k=3-3w \end{array}}\)

Lecz nie ma on rozwiązań, sprawdziłem w Wolframie:



Z góry dziękuję za sprawdzenie i wskazanie błędu.
miodzio1988

Punkt przecięcia się 3 płaszczyzn.

Post autor: miodzio1988 »

A nie możesz zwykłego układu równań od razu rozwiązać?
normandy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 1 sty 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żywiec
Podziękował: 2 razy

Punkt przecięcia się 3 płaszczyzn.

Post autor: normandy »

Tzn, te 3 równania od razu do układu? Tak, nawet muszę, w poleceniu mam aby zrobić to przy użyciu postaci ogólnej i parametrycznej. Męczę to w ten sposób ponieważ w poleceniu, podpunkt b każe mi skorzystać z postaci parametrycznej.
ODPOWIEDZ