Pole kwadratu wpisanego w elipsę.

gugusiia · Post autor: **gugusiia** » 30 sie 2012, o 12:25

Mam problem z rozwiązaniem zadania:
Oblicz pole kwadratu wpisanego w elipsę o równaniu \(\displaystyle{ 16 x^{2} + 9 y^{2} =144}\).

lackiluck1 · Post autor: **lackiluck1** » 30 sie 2012, o 12:55

przekształć do \(\displaystyle{ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1}\) i tu masz link jak rozwiązać tego typu problem:
https://www.matematyka.pl/232534.htm

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 30 sie 2012, o 12:55

Jest w miarę oczywiste, że jeśli będziemy rozważali tę sytuację na płaszczyźnie kartezjańskiej, to przekątne tego kwadratu będziemy mogli utożsamiać z funkcjami \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\). Jeśli znajdziemy choć jedno przecięcie tej funkcji z elipsą, to będziemy mieli już jeden wierzchołek kwadratu, z którego bez problemu dostaniemy trzy pozostałe (odbijając go względem odpowiednich osi współrzędnych). Szukamy więc rozwiązania układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 16x^2+9y^2=144 \\ y=x \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ 25x^2=144}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{12}{5}}\) (wystarczy nam jedno rozwiązanie).

Wobec tego wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne \(\displaystyle{ \left( \frac{12}{5},\frac{12}{5}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(- \frac{12}{5},\frac{12}{5}\right)}\) ,\(\displaystyle{ \left( \frac{12}{5},-\frac{12}{5}\right)}\), \(\displaystyle{ \left( -\frac{12}{5},-\frac{12}{5}\right)}\) skąd z łatwością liczymy, że pole wynosi \(\displaystyle{ \left( \frac{24}{5}\right)^2.}\)