Trójkąt rozpięty na wektorach

[The Sun]

Wyznaczyć miary kątów i pole trójkąta rozpiętego na wektorach:
\(\displaystyle{ \ p=-a+\frac{b}{2} +c}\)
\(\displaystyle{ \ q=2a-b+c}\),
wiedząc,że wektory \(\displaystyle{ \ a}\) i \(\displaystyle{ \ b}\) są wzajemnie prostopadłe, wektor \(\displaystyle{ \ c}\) tworzy z wektorami \(\displaystyle{ \ a}\) i \(\displaystyle{ \ b}\) kąty równe \(\displaystyle{ \frac { \pi }{3}}\) oraz
\(\displaystyle{ \ |a|=1,|b|=|c|=2}\).

[pyzol]

Policz:
\(\displaystyle{ p\cdot q,p^2, q^2}\).

[antoinet]

Mogłabym prosić o wyjaśnienie, w jakim celu trzeba policzyć \(\displaystyle{ p^{2}}\) , \(\displaystyle{ q^{2}}\) , \(\displaystyle{ p\cdot q}\) ?

Przepraszam, że odświeżam stary temat, ale nie chciałam powtarzać zadania, skoro jest już umieszczone na forum.

[pyzol]

Musimy policzyć kąt między wektorami, korzystamy z iloczynu skalarnego, a dokładniej ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{a\cdot b}{\sqrt{a^2 b^2}}}\).

[Miixx]

Właśnie staram się rozwiązać to zadanie i nie jestem pewien czy dobrze rozumiem.

Mam policzyć:

\(\displaystyle{ p^{2} = (-a + \frac{1}{2}b + c) ^{2} = \vec{a} ^{2} + ( \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c} ) ^{2} - 2 \vec{a}( \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}) = \left| a\right| + \frac{1}{4}\left| b\right| + \left| c\right| + bc - ab - 2ac =\left| a\right| + \frac{1}{4}\left| b\right| + \left| c\right|+ \left| b\right| \left| c\right| \cos ( \frac{ \pi }{3}) - 0 - 2\left| a\right|\left| c\right|\cos ( \frac{ \pi }{3}) = 3 \frac{1}{2}}\)

Analogicznie mam policzyć \(\displaystyle{ q^{2}}\) , a następnie tak samo wymnożyć \(\displaystyle{ p \cdot q}\) i podstawić do wzoru na kąt pomiędzy wektorami?

[pyzol]

Tak to mniej więcej będzie szło.
\(\displaystyle{ \vec{a}^2=|a|^2}\), Ty masz \(\displaystyle{ |a|}\).
Wzór skróconego mnożenia można uogólnić:
\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}\), czyli od razu możesz liczyć:
\(\displaystyle{ \left(-a+\frac{1}{2}b+c \right)^2= |a|^2+\frac{|b|^2}{4}+c^2-ab-2ac+bc}\)