Dowód ze środkiem ciężkości trójkąta

[kam51]

Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ O\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)}\)

[lukasz1804]

Oznacz tymczasowo przez \(\displaystyle{ P,Q,R}\) punkty wspólne środkowych trójkąta z bokami \(\displaystyle{ BC, AC, AB}\) odpowiednio.
Zauważ, że \(\displaystyle{ \vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{AO}=-\frac{1}{2}\vec{OA}}\) i podobnie \(\displaystyle{ \vec{OQ}=-\frac{1}{2}\vec{OB}, \vec{OR}=-\frac{1}{2}\vec{OC}}\) (skorzystaj z odpowiedniego twierdzenia).
Dalej wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{OA}=\vec{OR}-\frac{1}{2}\vec{AB}}\) i podobnie \(\displaystyle{ \vec{OB}=\vec{OP}-\frac{1}{2}\vec{BC}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{OC}=\vec{OQ}+\frac{1}{2}\vec{AC}}\).
Oczywista jest bowiem równość \(\displaystyle{ \vec{AB}+\vec{BC}-\vec{AC}=\vec{0}}\).

[kam51]

A mógłbyś przypomnieć mi to twierdzenie?

[piasek101]

Z mojego - wyznacz współrzędne tych wektorów i dodaj je (te wektory).

[lukasz1804]

A mógłbyś przypomnieć mi to twierdzenie?

W każdym trójkącie środkowe przecinają się w jednym punkcie i dzielą w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) począwszy od wierzchołków trójkąta.