Krzywizna Ziemi, koło wielkie.

[Slike]

"Wyobraźmy sobie, że chcemy przenieść się z Nowego Jorku do Madrytu; oba miasta mają niemal identyczną szerokość geograficzną. Gdyby Ziemia była płaska, najkrótsza droga prowadziłaby prosto na wschód. Wybierając ją, dotarlibyśmy do Madrytu, pokonując 5964 km. Jednakże z powodu krzywizny Ziemi droga na płaskiej mapie jest linią krzywą i wydaje się dłuższa, mimo że jest krótsza. Podążając po kole wielkim - najpierw na północ, potem na południowy wschód - dotrzemy do Madrytu po przebyciu 5800 km. Za różnicę obu dróg odpowiada krzywizna Ziemi oraz znak jej geometrii nieeuklidesowej. Wiedzą o tym linie lotnicze i gdy tylko jest to możliwe, kierują pilotów na trasę wzdłuż koła wielkiego."

Przeczytałem to w jednej z książek i dręczy mnie to.
Moje pytanie brzmi: W jaki sposób krzywizna Ziemi sprawia, że odległość maleje o 164km ?
Jeżeli wezmę sobie 30 cm linijkę i ją zegnę to dalej od 0 do 30 mam 30 cm, wiec nie bardzo rozumiem jak zakrzywienie powierzchni wybrzuszeniem do góry może sprawić, że będzie bliżej. Bardziej zrozumiałe wydaje się poprowadzenie cięciwy jako podziemnego przekopu do Madrytu.

[royas]

Wyginając linijkę tworzysz fragment walca, a chodzi o sferę. Wyobraź sobie globus z dwoma punktami na tym samym równoleżniku (ale nie równiku), następnie wbijasz w te punkty szpilki. a potem naciągasz na tych szpilkach nitkę. Nitka nie pokryje się z równoleżnikiem i będzie krótsza niż jego fragment.

Albo inaczej i mało precyzyjnie. Weź prostokątną mapę świata (taką na której południki są proste i równoległe. Wyobraź sobie co się dzieje z odcinkami równoleżników pomiędzy zaznaczonymi południkami podczas przekształcania tego prostokąta w sferę. Odcinki te ulegają tym większemu skróceniu im bliżej bieguna (na biegunie jest ekstremalnie, bo cały równoleżnik zamienia się w punkt. Czyli jeśli teren bliżej bieguna bardziej się skurczył to pewnie krótsza droga biegnie właśnie tamtędy.

I trzeci ekstremalny przypadek. Znajdujesz się 1 metr od bieguna na południku 0, chcesz dojść do punku po drugiej stronie bieguna, czyli odległego od bieguna o 1m na południku 180. Najkrótsza droga to 2m i prowadzi przez biegun, po kole wielkim. Natomiast droga po równoleżniku zatacza półokrąg o promieniu 1m wokół bieguna czyli wynosi Pi zamiast 2. A co jeśli byś chciał dojść do podobnego punku tylko na południku 90?