Wysokość trójkąta R^3

[normandy]

Cześć!

Mam obliczyć wysokość trójkąta rozpiętego na wektorach

\(\displaystyle{ \vec{AB}=(1,5,-3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AC}=(-1,0,4)}\)
opuszczoną z wierzchołka C.

Wynik wyszedł mi w przybliżeniu prawie taki sam, lecz jest mało elegancki, i nie wiem jak to wyrazić tak jak w odpowiedzi.

Mianowicie:

Zauważam, że wysokość będzie wektorem o początku w punkcie C i końcu w punkcie E, który stanowi punkt styczności wysokości i wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\).

Aby skorzystać z tw. Pitagorasa potrzebuję długości odcinka AE, która będzie rzutem prostokątnym wektora \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) na wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\).

Obliczam:

\(\displaystyle{ \frac{(-1,0,4)*(1,5,-3)}{1+25+9)} * (1,5,-3) = \frac{-13}{35}*(1,5,-3)}\)

W dalszej części wyliczam ten wektor co kilku miejsc po przecinku, liczę jego długość i wstawiam do tw. Pitagorasa, lecz wynik nie jest zbyt elegancki. W odpowiedzi widnieje:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{14910} }{35}}\)

Jak otrzymać taki wynik? Gdy wstawiałem do 6 miejsca po przecinku mój wynik nie różnił się zbyt wiele jednak chciałbym wyrazić to ładniej.

Dziękuję za pomoc

[miodzio1988]

206480.htm

poczytaj o tym

[normandy]

Czyli lepiej by było obliczyć iloczyn wektorowy danych wektorów, podzielić na 2, dalej obliczyć długość podstawy i z tego wysokość. Dobrze kombinuje?