Parametryzacja równania okręgu w R3

[frozzins]

Witam,

Mam duzy problem, żeby pokonać pewnien problem:

Otóz mam krzywą daną rówaniami:
\(\displaystyle{ K: \begin{cases} (x-1) ^{2} +(y+3) ^{2}+(z-2) ^{2}=25 \\ x+y-z+2=0 \end{cases}}\)

Wiem, że będzie to okrąg bo to połączenie sfery i płaszczyzny. Problem polega na tym, że równanie tego okręgu muszę mieć w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f _{1} (t)\\ y=f _{2} (t) \\z=f _{3} (t)\end{cases}}\)

I za nic nie wiem jak ją uzyskać

Próbowałem różne tricki ale nic dobrego z tego nie wyszło. Może ktoś zna jakąś metodę na takie zadanie?

[szw1710]

Trzeba dobrać nowy układ współrzędnych, którego początkiem będzie środek sfery, a podana płaszczyzna będzie powiedzmy płaszczyzną \(\displaystyle{ x'y'.}\) Osią \(\displaystyle{ z'}\) będzie prosta przechodząca przez środek sfery i równoległa do wektora prostopadłego do płaszczyzny (kolokwialnie mówiąc, zawierająca wektor prostopadły do płaszczyzny). W takim układzie okrąg będzie miał równanie \(\displaystyle{ x'=5\cos t,\;y'=5\sin t,\;z'=0.}\) Kwestia znalezienia odpowiedniej transformacji afinicznej. Znasz zapewne wzory na przekształcenie afiniczne. Trzeba zrobić tak, aby płaszczyzna \(\displaystyle{ xy}\) przeszła w podaną płaszczyznę, a oś \(\displaystyle{ z}\) w prostą \(\displaystyle{ z'.}\)

[The Sun]

A co w sytuacji,gdy mam zrobić to zadanie nie korzystając z transformacji?Czy jest na to jakiś sposób?

[norwimaj]

Możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\) z drugiego równania i wstawić do pierwszego. W ten sposób dostaniesz równanie elipsy na płaszczyźnie. Ale nie wiem jak możesz wyznaczyć jej parametryzację bez żadnego podstawienia.

[szw1710]

Nie wiem czy dobrze rozumiem to co napisałeś. Ale przecież po odpowiednim wycentrowaniu elipsa jest prościutka do parametryzacji opierając się na obserwacji, że po przeskalowaniu osi jest ona okręgiem.

Elipsa

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)

ma równanie parametryczne

\(\displaystyle{ x=a\cos t,\quad y=b\sin t.}\)

[norwimaj]

Po podstawieniu i wymnożeniu mamy

\(\displaystyle{ (x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)+(x^2+2xy+y^2)=25.}\)

Ta elipsa nie da się sprowadzić do okręgu poprzez samo tylko przeskalowanie osi, bo jest ten wyraz \(\displaystyle{ 2xy}\). Zresztą przeskalowanie osi to już jest jakieś podstawienie, a jeśli dobrze zrozumiałem, autor tematu chciał tego uniknąć.

Edit: Nie autor tylko The Sun chciała uniknąć podstawień.

[szw1710]

Ale coś mi z tą elipsą nie pasuje. Tniemy sferę (bo pierwsze równanie określa sferę) płaszczyzną. Zawsze istnieje równoległa do niej płaszczyzna równika. A zatem cięcie sfery płaszczyzną jest okręgiem, nie elipsą. Oczywiście okrąg to przypadek graniczny elipsy No chyba że coś nie tak z moim widzeniem geometrycznym, co jest możliwe

[norwimaj]

Tak, figura, którą należy w zadaniu sparametryzować, jest okręgiem. Jednak sposób, o którym tu pisałem, polega na sparametryzowaniu najpierw rzutu okręgu na płaszczyznę \(\displaystyle{ z=const}\). Ten rzut nie jest okręgiem, ale właściwą elipsą.

[szw1710]

Tak. Biorąc równanie sfery i wstawiając do niego równanie płaszczyzny mamy jedną implikację. Jeśli punkt leży na danym okręgu, to spełnia równanie, które napisałeś. Zniknęło w nim \(\displaystyle{ z}\) i rzeczywiście oznacza to, że mamy równanie rzutu okręgu na płaszczyznę np. \(\displaystyle{ z=0}\) czy \(\displaystyle{ z=\text{const}.}\) Samo równanie w drugą stronę nie wystarczy. Trzeba po prostu dodać \(\displaystyle{ z-2=x+y}\)

Chyba najłatwiej jednak będzie znaleźć transformację afiniczną, o której pisałem na początku. Ona będzie odwracalna, więc łatwo z nowych współrzędnych przejdziemy na stare. Ale tym niech się już martwi pytający. To jego zadanie, a co najmniej dwie rady uzyskał

Z samą elipsą na płaszczyźnie jest bardzo dużo grzebania, aby odpowiednio zmienić układ, żeby się w nim wycentrowała. Robiłem to kiedyś na wykładzie i zajęło to ok. godziny.

[a4karo]

Odgrzewam kotleta, ale może komuś się przyda.

Przede wszystkim przesuwamy początek układu tak, żeby sfera miała środek w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)

Wtedy mamy układ równań
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=R^2,\quad ax+by+cz-d=0}\)

Zauważmy przede wszytskim, że parametryzacja jest trywialna gdy \(\displaystyle{ c=0}\) i gdy \(\displaystyle{ a=b=0}\)

Wprowadźmy współrzedne sferyczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=R\cos\psi\cos\phi\\
y=R\cos\psi\sin\phi\\
z=R\sin\psi
\end{cases}}\)

Rozważmy dwa przypadki
Przypadek 1: \(\displaystyle{ d=0}\)

Wstawiając parametryzację do rówania płaszczyzny dostajemy
\(\displaystyle{ aR\cos\psi\cos\phi+bR\cos\psi\sin\phi+cR\sin\psi=0}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \psi=\arctan\left(-\frac{a}{c}\cos\phi-\frac{b}{c}\sin\phi\right)}\)

W ten sposób otrzymujemy parametryzację przy pomocy \(\displaystyle{ \phi}\).

Przypadek 2 \(\displaystyle{ d\neq 0}\) (można to rozumowanie zastosować również w przypadku 1, ale rachunki tutaj są troszkę bardziej skomplikowane)

Równanie płaszczyzny wyglada teraz tak
\(\displaystyle{ aR\cos\psi\cos\phi+bR\cos\psi\sin\phi+cR\sin\psi=-d}\)

lub

\(\displaystyle{ a\cos\phi+b\sin\phi=\frac{-d-cR\sin\psi}{R\cos\psi}}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\phi+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\phi=\frac{-d-cR\sin\psi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}}\)

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie takim kątem, że \(\displaystyle{ \sin A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\) i \(\displaystyle{ \cos A=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)
Wtedy dostajemy równanie

\(\displaystyle{ \sin(A+\phi)=\frac{-d-cR\sin\phi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}}\)

i stąd

\(\displaystyle{ \phi=\arcsin\left(\frac{-d-cR\sin\psi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}\right)-A}\)


Oczywiscie interesują nas tylko takie wartości \(\displaystyle{ \psi}\) dla których prawa strona ma sens.

[Janusz Tracz]

Niech punkt \(\displaystyle{ F}\) będzie na okręgu oznaczmy że zależy od trzech współrzędnych które zależą od parametry \(\displaystyle{ t\in[0,2 \pi ]}\)
Wektor współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{F}=[x(t),y(t),z(t)]}\) można wyrazić następująco :

\(\displaystyle{ \vec{F}=R\cos t \cdot \vec{u}+R\sin t \cdot ( \vec{n} \times \vec{u})+[x_0,y_0,z_0]}\)

oznaczenia :

\(\displaystyle{ R}\) - promień
\(\displaystyle{ \vec{n}}\) - wersor płaszczyzny
\(\displaystyle{ \vec{u}}\) - dowolny wersor zaczepiony w środku okręgu skierowany do dowolnego punktu na okręgu
\(\displaystyle{ [x_0,y_0,z_0]}\) - środek okręgu
\(\displaystyle{ t}\) - parametr

po wykonaniu obliczeń wystarczy porównać 2 wektory ze sobą i dostaniemy parametryzacje w tej postaci :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f _{1} (t)\\ y=f _{2} (t) \\z=f _{3} (t)\end{cases}}\)

[a4karo]

Ten wzór jest zupełnie niewiarygodny. Jedynym używanym parametrem płaszczyzny jest jej wektor normalny, a przecież przekrój jest zależny m.in. Od odległości płaszczyzny od środka kuli.