Parametryzacja równania okręgu w R3
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 14 wrz 2008, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
- Podziękował: 5 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Witam,
Mam duzy problem, żeby pokonać pewnien problem:
Otóz mam krzywą daną rówaniami:
\(\displaystyle{ K: \begin{cases} (x-1) ^{2} +(y+3) ^{2}+(z-2) ^{2}=25 \\ x+y-z+2=0 \end{cases}}\)
Wiem, że będzie to okrąg bo to połączenie sfery i płaszczyzny. Problem polega na tym, że równanie tego okręgu muszę mieć w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f _{1} (t)\\ y=f _{2} (t) \\z=f _{3} (t)\end{cases}}\)
I za nic nie wiem jak ją uzyskać
Próbowałem różne tricki ale nic dobrego z tego nie wyszło. Może ktoś zna jakąś metodę na takie zadanie?
Mam duzy problem, żeby pokonać pewnien problem:
Otóz mam krzywą daną rówaniami:
\(\displaystyle{ K: \begin{cases} (x-1) ^{2} +(y+3) ^{2}+(z-2) ^{2}=25 \\ x+y-z+2=0 \end{cases}}\)
Wiem, że będzie to okrąg bo to połączenie sfery i płaszczyzny. Problem polega na tym, że równanie tego okręgu muszę mieć w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f _{1} (t)\\ y=f _{2} (t) \\z=f _{3} (t)\end{cases}}\)
I za nic nie wiem jak ją uzyskać
Próbowałem różne tricki ale nic dobrego z tego nie wyszło. Może ktoś zna jakąś metodę na takie zadanie?
Parametryzacja równania okręgu w R3
Trzeba dobrać nowy układ współrzędnych, którego początkiem będzie środek sfery, a podana płaszczyzna będzie powiedzmy płaszczyzną \(\displaystyle{ x'y'.}\) Osią \(\displaystyle{ z'}\) będzie prosta przechodząca przez środek sfery i równoległa do wektora prostopadłego do płaszczyzny (kolokwialnie mówiąc, zawierająca wektor prostopadły do płaszczyzny). W takim układzie okrąg będzie miał równanie \(\displaystyle{ x'=5\cos t,\;y'=5\sin t,\;z'=0.}\) Kwestia znalezienia odpowiedniej transformacji afinicznej. Znasz zapewne wzory na przekształcenie afiniczne. Trzeba zrobić tak, aby płaszczyzna \(\displaystyle{ xy}\) przeszła w podaną płaszczyznę, a oś \(\displaystyle{ z}\) w prostą \(\displaystyle{ z'.}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2012, o 16:28 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 21 sie 2012, o 10:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Parametryzacja równania okręgu w R3
A co w sytuacji,gdy mam zrobić to zadanie nie korzystając z transformacji?Czy jest na to jakiś sposób?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\) z drugiego równania i wstawić do pierwszego. W ten sposób dostaniesz równanie elipsy na płaszczyźnie. Ale nie wiem jak możesz wyznaczyć jej parametryzację bez żadnego podstawienia.
Parametryzacja równania okręgu w R3
Nie wiem czy dobrze rozumiem to co napisałeś. Ale przecież po odpowiednim wycentrowaniu elipsa jest prościutka do parametryzacji opierając się na obserwacji, że po przeskalowaniu osi jest ona okręgiem.
Elipsa
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)
ma równanie parametryczne
\(\displaystyle{ x=a\cos t,\quad y=b\sin t.}\)
Elipsa
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)
ma równanie parametryczne
\(\displaystyle{ x=a\cos t,\quad y=b\sin t.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Po podstawieniu i wymnożeniu mamy
\(\displaystyle{ (x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)+(x^2+2xy+y^2)=25.}\)
Ta elipsa nie da się sprowadzić do okręgu poprzez samo tylko przeskalowanie osi, bo jest ten wyraz \(\displaystyle{ 2xy}\). Zresztą przeskalowanie osi to już jest jakieś podstawienie, a jeśli dobrze zrozumiałem, autor tematu chciał tego uniknąć.
Edit: Nie autor tylko The Sun chciała uniknąć podstawień.
\(\displaystyle{ (x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)+(x^2+2xy+y^2)=25.}\)
Ta elipsa nie da się sprowadzić do okręgu poprzez samo tylko przeskalowanie osi, bo jest ten wyraz \(\displaystyle{ 2xy}\). Zresztą przeskalowanie osi to już jest jakieś podstawienie, a jeśli dobrze zrozumiałem, autor tematu chciał tego uniknąć.
Edit: Nie autor tylko The Sun chciała uniknąć podstawień.
Parametryzacja równania okręgu w R3
Ale coś mi z tą elipsą nie pasuje. Tniemy sferę (bo pierwsze równanie określa sferę) płaszczyzną. Zawsze istnieje równoległa do niej płaszczyzna równika. A zatem cięcie sfery płaszczyzną jest okręgiem, nie elipsą. Oczywiście okrąg to przypadek graniczny elipsy No chyba że coś nie tak z moim widzeniem geometrycznym, co jest możliwe
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Tak, figura, którą należy w zadaniu sparametryzować, jest okręgiem. Jednak sposób, o którym tu pisałem, polega na sparametryzowaniu najpierw rzutu okręgu na płaszczyznę \(\displaystyle{ z=const}\). Ten rzut nie jest okręgiem, ale właściwą elipsą.
Parametryzacja równania okręgu w R3
Tak. Biorąc równanie sfery i wstawiając do niego równanie płaszczyzny mamy jedną implikację. Jeśli punkt leży na danym okręgu, to spełnia równanie, które napisałeś. Zniknęło w nim \(\displaystyle{ z}\) i rzeczywiście oznacza to, że mamy równanie rzutu okręgu na płaszczyznę np. \(\displaystyle{ z=0}\) czy \(\displaystyle{ z=\text{const}.}\) Samo równanie w drugą stronę nie wystarczy. Trzeba po prostu dodać \(\displaystyle{ z-2=x+y}\)
Chyba najłatwiej jednak będzie znaleźć transformację afiniczną, o której pisałem na początku. Ona będzie odwracalna, więc łatwo z nowych współrzędnych przejdziemy na stare. Ale tym niech się już martwi pytający. To jego zadanie, a co najmniej dwie rady uzyskał
Z samą elipsą na płaszczyźnie jest bardzo dużo grzebania, aby odpowiednio zmienić układ, żeby się w nim wycentrowała. Robiłem to kiedyś na wykładzie i zajęło to ok. godziny.
Chyba najłatwiej jednak będzie znaleźć transformację afiniczną, o której pisałem na początku. Ona będzie odwracalna, więc łatwo z nowych współrzędnych przejdziemy na stare. Ale tym niech się już martwi pytający. To jego zadanie, a co najmniej dwie rady uzyskał
Z samą elipsą na płaszczyźnie jest bardzo dużo grzebania, aby odpowiednio zmienić układ, żeby się w nim wycentrowała. Robiłem to kiedyś na wykładzie i zajęło to ok. godziny.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Odgrzewam kotleta, ale może komuś się przyda.
Przede wszystkim przesuwamy początek układu tak, żeby sfera miała środek w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
Wtedy mamy układ równań
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=R^2,\quad ax+by+cz-d=0}\)
Zauważmy przede wszytskim, że parametryzacja jest trywialna gdy \(\displaystyle{ c=0}\) i gdy \(\displaystyle{ a=b=0}\)
Wprowadźmy współrzedne sferyczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=R\cos\psi\cos\phi\\
y=R\cos\psi\sin\phi\\
z=R\sin\psi
\end{cases}}\)
Rozważmy dwa przypadki
Przypadek 1: \(\displaystyle{ d=0}\)
Wstawiając parametryzację do rówania płaszczyzny dostajemy
\(\displaystyle{ aR\cos\psi\cos\phi+bR\cos\psi\sin\phi+cR\sin\psi=0}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \psi=\arctan\left(-\frac{a}{c}\cos\phi-\frac{b}{c}\sin\phi\right)}\)
W ten sposób otrzymujemy parametryzację przy pomocy \(\displaystyle{ \phi}\).
Przypadek 2 \(\displaystyle{ d\neq 0}\) (można to rozumowanie zastosować również w przypadku 1, ale rachunki tutaj są troszkę bardziej skomplikowane)
Równanie płaszczyzny wyglada teraz tak
\(\displaystyle{ aR\cos\psi\cos\phi+bR\cos\psi\sin\phi+cR\sin\psi=-d}\)
lub
\(\displaystyle{ a\cos\phi+b\sin\phi=\frac{-d-cR\sin\psi}{R\cos\psi}}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\phi+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\phi=\frac{-d-cR\sin\psi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}}\)
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie takim kątem, że \(\displaystyle{ \sin A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\) i \(\displaystyle{ \cos A=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)
Wtedy dostajemy równanie
\(\displaystyle{ \sin(A+\phi)=\frac{-d-cR\sin\phi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}}\)
i stąd
\(\displaystyle{ \phi=\arcsin\left(\frac{-d-cR\sin\psi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}\right)-A}\)
Oczywiscie interesują nas tylko takie wartości \(\displaystyle{ \psi}\) dla których prawa strona ma sens.
Przede wszystkim przesuwamy początek układu tak, żeby sfera miała środek w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
Wtedy mamy układ równań
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=R^2,\quad ax+by+cz-d=0}\)
Zauważmy przede wszytskim, że parametryzacja jest trywialna gdy \(\displaystyle{ c=0}\) i gdy \(\displaystyle{ a=b=0}\)
Wprowadźmy współrzedne sferyczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=R\cos\psi\cos\phi\\
y=R\cos\psi\sin\phi\\
z=R\sin\psi
\end{cases}}\)
Rozważmy dwa przypadki
Przypadek 1: \(\displaystyle{ d=0}\)
Wstawiając parametryzację do rówania płaszczyzny dostajemy
\(\displaystyle{ aR\cos\psi\cos\phi+bR\cos\psi\sin\phi+cR\sin\psi=0}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \psi=\arctan\left(-\frac{a}{c}\cos\phi-\frac{b}{c}\sin\phi\right)}\)
W ten sposób otrzymujemy parametryzację przy pomocy \(\displaystyle{ \phi}\).
Przypadek 2 \(\displaystyle{ d\neq 0}\) (można to rozumowanie zastosować również w przypadku 1, ale rachunki tutaj są troszkę bardziej skomplikowane)
Równanie płaszczyzny wyglada teraz tak
\(\displaystyle{ aR\cos\psi\cos\phi+bR\cos\psi\sin\phi+cR\sin\psi=-d}\)
lub
\(\displaystyle{ a\cos\phi+b\sin\phi=\frac{-d-cR\sin\psi}{R\cos\psi}}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\phi+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\phi=\frac{-d-cR\sin\psi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}}\)
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie takim kątem, że \(\displaystyle{ \sin A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\) i \(\displaystyle{ \cos A=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)
Wtedy dostajemy równanie
\(\displaystyle{ \sin(A+\phi)=\frac{-d-cR\sin\phi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}}\)
i stąd
\(\displaystyle{ \phi=\arcsin\left(\frac{-d-cR\sin\psi}{R\sqrt{a^2+b^2}\cos\psi}\right)-A}\)
Oczywiscie interesują nas tylko takie wartości \(\displaystyle{ \psi}\) dla których prawa strona ma sens.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Niech punkt \(\displaystyle{ F}\) będzie na okręgu oznaczmy że zależy od trzech współrzędnych które zależą od parametry \(\displaystyle{ t\in[0,2 \pi ]}\)
Wektor współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{F}=[x(t),y(t),z(t)]}\) można wyrazić następująco :
\(\displaystyle{ \vec{F}=R\cos t \cdot \vec{u}+R\sin t \cdot ( \vec{n} \times \vec{u})+[x_0,y_0,z_0]}\)
oznaczenia :
\(\displaystyle{ R}\) - promień
\(\displaystyle{ \vec{n}}\) - wersor płaszczyzny
\(\displaystyle{ \vec{u}}\) - dowolny wersor zaczepiony w środku okręgu skierowany do dowolnego punktu na okręgu
\(\displaystyle{ [x_0,y_0,z_0]}\) - środek okręgu
\(\displaystyle{ t}\) - parametr
po wykonaniu obliczeń wystarczy porównać 2 wektory ze sobą i dostaniemy parametryzacje w tej postaci :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f _{1} (t)\\ y=f _{2} (t) \\z=f _{3} (t)\end{cases}}\)
Wektor współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{F}=[x(t),y(t),z(t)]}\) można wyrazić następująco :
\(\displaystyle{ \vec{F}=R\cos t \cdot \vec{u}+R\sin t \cdot ( \vec{n} \times \vec{u})+[x_0,y_0,z_0]}\)
oznaczenia :
\(\displaystyle{ R}\) - promień
\(\displaystyle{ \vec{n}}\) - wersor płaszczyzny
\(\displaystyle{ \vec{u}}\) - dowolny wersor zaczepiony w środku okręgu skierowany do dowolnego punktu na okręgu
\(\displaystyle{ [x_0,y_0,z_0]}\) - środek okręgu
\(\displaystyle{ t}\) - parametr
po wykonaniu obliczeń wystarczy porównać 2 wektory ze sobą i dostaniemy parametryzacje w tej postaci :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=f _{1} (t)\\ y=f _{2} (t) \\z=f _{3} (t)\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Parametryzacja równania okręgu w R3
Ten wzór jest zupełnie niewiarygodny. Jedynym używanym parametrem płaszczyzny jest jej wektor normalny, a przecież przekrój jest zależny m.in. Od odległości płaszczyzny od środka kuli.