Dla czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(0,1,2), \ B(3,2,1), \ C(-1,0,2), \ D(2,3,3)}\) wyznaczyć miarę kąta między wysokością wychodzącą z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) a ścianą tego czworościanu zawierającą wierzchołki \(\displaystyle{ B,C,D}\). Błagam pomóżcie,bo robiłam to juz chyba na milion sposobów i nie wychodzi.
-- 21 sie 2012, o 17:54 --
Naprawdę nikt nie potrafi zrobić tego zadania?;-(
Podam odpowiedź:
\(\displaystyle{ \arcsin\frac{\sqrt {14}}{7}}\)
Na pewno jest prostszy sposób,bo w tym zadaniu chodzi o zastosowanie wzoru na sinus kąta między płaszczyzną a prosta.Wyznaczylam wektor kierunkowy wysokosci i wekor normalny plaszczyzny ,na której leżą te trzy punkty i podstawilam do wzoru,ale nie wychodzi tak jak w odpowiedzi.
Prosta i płaszczyzna w R(3)
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Prosta i płaszczyzna w R(3)
Spróbuj wyznaczyć kosinus tego kąta. Rozważ trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest wysokość w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) opuszczona z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\), a jedną z przyprostokątnych rzut prostopadły tej wysokości na płaszczyznę \(\displaystyle{ BCD}\). Wystarczy znać długość wspomnianej wysokości i długość wspomnianego jej rzutu.
1. Długość wysokości możesz wyznaczyć na wiele sposobów. Np.
i) znaleźć postać parametryczną równania prostej \(\displaystyle{ BC}\) i odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od tej prostej, jako najkrótszego odcinka łączącego punkt \(\displaystyle{ A}\) z dowolnym punktem na prostej \(\displaystyle{ BC}\) (w razie kłopotów możesz spojrzeć na moje wypociny na temat odległości punktu od prostej w przestrzeni): tu temat potraktowany ogólnie 286010.htm a tu jeden rozwiązany przykład 200558.htm)
ii) znaleźć długość \(\displaystyle{ |AB|}\) oraz wyznaczyć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \vec{BA}, \vec{BC}}\), a następnie \(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{BA}, \vec{BC})=\frac{\vec{BA}\circ\vec{BC}}{|AB||BC|}}\); stąd mamy \(\displaystyle{ \sin\angle(\vec{BA}, \vec{BC})=\sqrt{1-\cos^2\angle(\vec{BA}, \vec{BC})}}\) (gdyż rozważany kąt jest wypukły, to znak sinusa jest na pewno dodatni); długość wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ |AB|\sin\angle(\vec{BA}, \vec{BC})}\).
2. Z długością rzutu prostopadłego jest łatwiej, bo jest to odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ BCD}\) - potrzeba zatem tylko wyznaczyć wpierw równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ B,C,D}\).
1. Długość wysokości możesz wyznaczyć na wiele sposobów. Np.
i) znaleźć postać parametryczną równania prostej \(\displaystyle{ BC}\) i odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od tej prostej, jako najkrótszego odcinka łączącego punkt \(\displaystyle{ A}\) z dowolnym punktem na prostej \(\displaystyle{ BC}\) (w razie kłopotów możesz spojrzeć na moje wypociny na temat odległości punktu od prostej w przestrzeni): tu temat potraktowany ogólnie 286010.htm a tu jeden rozwiązany przykład 200558.htm)
ii) znaleźć długość \(\displaystyle{ |AB|}\) oraz wyznaczyć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \vec{BA}, \vec{BC}}\), a następnie \(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{BA}, \vec{BC})=\frac{\vec{BA}\circ\vec{BC}}{|AB||BC|}}\); stąd mamy \(\displaystyle{ \sin\angle(\vec{BA}, \vec{BC})=\sqrt{1-\cos^2\angle(\vec{BA}, \vec{BC})}}\) (gdyż rozważany kąt jest wypukły, to znak sinusa jest na pewno dodatni); długość wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ |AB|\sin\angle(\vec{BA}, \vec{BC})}\).
2. Z długością rzutu prostopadłego jest łatwiej, bo jest to odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ BCD}\) - potrzeba zatem tylko wyznaczyć wpierw równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ B,C,D}\).
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Prosta i płaszczyzna w R(3)
Mnie wychodzi tak:
\(\displaystyle{ \vec{h}=\vec{BA}-\vec{BC}\cdot\left(\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2}\right)=[3,1,-1]-[-4,-2,1]\cdot\left(\frac{[3,1,-1]\cdot[-4,-2,1]}{(-4)^2+(-2)^2+1^2}\right)=\\
=[3,1,-1]-[-4,-2,1]\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)=\left[\frac{1}{7},-\frac{3}{7},-\frac{2}{7}\right]=\frac{1}{7}\cdot[1,-3,-2]\\
\vec{n}=\vec{BC}\times\vec{BD}=[-4,-2,1]\times[-1,1,2]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&-2&1\\-1&1&2\end{vmatrix}=[-5,7,-6]\\
\cos\angle(\vec{h},\vec{n})=\frac{\vec{h}\cdot\vec{n}}{|\vec{h}||\vec{n}|}=-\frac{1}{\sqrt{110}}=-\sin\alpha\\
\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{110}}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{h}=\vec{BA}-\vec{BC}\cdot\left(\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2}\right)=[3,1,-1]-[-4,-2,1]\cdot\left(\frac{[3,1,-1]\cdot[-4,-2,1]}{(-4)^2+(-2)^2+1^2}\right)=\\
=[3,1,-1]-[-4,-2,1]\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)=\left[\frac{1}{7},-\frac{3}{7},-\frac{2}{7}\right]=\frac{1}{7}\cdot[1,-3,-2]\\
\vec{n}=\vec{BC}\times\vec{BD}=[-4,-2,1]\times[-1,1,2]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&-2&1\\-1&1&2\end{vmatrix}=[-5,7,-6]\\
\cos\angle(\vec{h},\vec{n})=\frac{\vec{h}\cdot\vec{n}}{|\vec{h}||\vec{n}|}=-\frac{1}{\sqrt{110}}=-\sin\alpha\\
\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{110}}\right)}\)