Rownania plaszczyzn zamiana

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
gylopl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 29 lis 2009, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie pamiętam
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: gylopl »

Witam!
Czy mogłby mi ktoś napisać jak przejść z postaci ogólnej do parametrycznej i na odwrót?

jest podobny temat ale nie moge zrozumieć jak to jest robione: 252232.htm

Ogólne
\(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\)
do wyznaczenia ogolnej potrzeba tylko wektora prostopadlego \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) i punktu nalezacego do niego\(\displaystyle{ (x,y,z)}\)

Parametryczne
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = x_{o} + ta_{1} + sb_{1} \\ y = y_{o} + ta_{2} + sb_{2} \\ z = z_{o} + ta_{3} + sb_{3} \end{cases}}\)
do niego trzeba punkt nalezacy do plaszczyzny i dwa wektory rownolegle do plaszczyzny
\(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0},z_{0}) [a_{1}, a_{2},a_{3}] [b_{1}, b_{2},b_{3}]}\)

jak z tego pojedynczego rownania ogolnego zrobic parametryczne?
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: justynian »

przyjmij dwie zmienne za parametry.
gylopl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 29 lis 2009, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie pamiętam
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: gylopl »

ok czyli jak?

podstawiam za \(\displaystyle{ z=t}\) i za \(\displaystyle{ y=s}\)
dalej mam:

\(\displaystyle{ Ax + Bs + Ct + D = 0}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{-Bs - Ct - D}{A}

\begin{cases} x = \frac{-Bs - Ct - D}{A} \\ z = t \\ y = s \end{cases}}\)
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: justynian »

no i git jeszcze można rozdzielić ten ułamek żeby było widać współczynniki przy parametrach.
gylopl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 29 lis 2009, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie pamiętam
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: gylopl »

ok, dzieki, ( te parametry s i t naleza do rzeczywistych tak?)

a teraz jak do ogolnej przejsc?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = x_{o} + ta_{1} + sb_{1} \\ y = y_{o} + ta_{2} + sb_{2} \\ z = z_{o} + ta_{3} + sb_{3} \end{cases}}\)

z tego rownania mam punkt nalezacy do plaszczyzny, i dwa wektory rownolegle. jak przemnoze te dwa wektory iloczynem wektorowym to powinienem otrzymac wektor prostopadly do plaszczyzny [A,B,C] tak?

127847.htm tu jest opisany sposob ale nie do konca rozumiem co/jakie punkty mam do tego rownania wstawic.
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: justynian »

pamiętaj że niektóre współczynniki mogą być zerami, tak samo niektóre współrzędne punktów a reszta już prosto, odczytujesz punkt, i współrzędne wektorów ze współczynników przy s i t potem tak jak mówisz iloczyn wektorowy.
gylopl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 29 lis 2009, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie pamiętam
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: gylopl »

wiem wiem ze moga byc zera we wspolrzednych;p

ok, czyli biore sobie wektor \(\displaystyle{ [a_{1},a_{2},a_{3}] razy [b_{1},b_{2},b_{3}] = [A,B,C}]}\)
i podstawiam punkt \(\displaystyle{ [x_{0},y_{0},z_{0}]}\) do rownania ponizej:

\(\displaystyle{ A(x- x_{0}) + B(y- y_{0}) + C(z- z_{0} )=0}\)

i wymnazam na koniec tak?
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

Rownania plaszczyzn zamiana

Post autor: justynian »

możesz wymnożyć tak.
ODPOWIEDZ