Równanie płaszczyzny

[syh]

Znaleźć równanie plaszczyzny przechodzącej przez prostą:

\(\displaystyle{ l:\begin{cases}3x+y=2 \\ x-z=-1\end{cases}}\)
i prostopadłej do płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi : 2x+y+z+1=0}\)

Zaczynam od wyliczenia wektora prostej, wyszedł mi \(\displaystyle{ \vec{u}=(-1,3,-1)}\),
potem wektor płaszczyny do której mam wyznaczyć równanie \(\displaystyle{ \vec{w}=(4,0,-4)}\), i w sumie nie wiem, czy to jest dobrze, jak i nie wiem co zrobić z tym dalej. Potrzebuję punktu i nie mam pojęcia skąd go wziąć? z równania płaszczyzny ?

[justynian]

wektor kierunkowy prostej ok. Ja potem bym wyznaczył wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) . Teraz wektor normalny szukanej płaszczyzny musi być prostopadły do obu wektorów lub równoległy do ich iloczynu wektorowego w szczególności równy.

[janusz47]

Metoda 1 (wyznacznika)
\(\displaystyle{ A, B, C}\)- współrzędne wektora prostopadłego płaszczyzny
Wyznaczamy wektor prostej
\(\displaystyle{ \vec{u} = \left [-1,3,-1 \right ].}\)
Znajdujemy współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej
\(\displaystyle{ p = ( -1, 5, 0).}\)
Zapisujemy układ trzech równań jednorodnych (szukana płaszczyzna przechodzi przez prostą i ponadto prostopadła do płaszczyzny)
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{ccc}A(x+1)+B(y-5) +C(z-0)=0\\ A\cdot (-1) +B\cdot 3+C\cdot(-1)=0\\ A\cdot 2 + B\cdot 1 + C\cdot 1 = 0 \end{array} \right.}\)
Układ ten ma rozwiązanie niezerowe, gdy wyznacznik tego układu jest równy zero.
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccc}x+1&y-5& z \\ -1&3&-1\\ 2&1&1 \end{array} \right| = 0.}\)
Rozwijając ten wyznacznik według pierwszego wiersza otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny
\(\displaystyle{ 4x - y -7z +9 = 0.}\)
Metoda 2(pęku płaszczyzn)
Piszemy równanie pęku płaszczyzn przesuniętych przez prostą
\(\displaystyle{ 3x +y -2 +k(x-z +1) = 0;}\)
\(\displaystyle{ (3+k)x + y -kz +k-2 = 0.}\)
Z warunku prostopadłości płaszczyzn wyznaczamy wartość parametru k,
\(\displaystyle{ 2(3+k) + 1\cdot 1 - 1\cdot k = 0;}\)
\(\displaystyle{ k = -7.}\)
Równanie płaszczyzny
\(\displaystyle{ 3x +y -2 -7(x-z+1) = 0;}\)
\(\displaystyle{ -4x +y +7z -9 =0;}\)
lub
\(\displaystyle{ 4x -y -7z +9 = 0.}\)