iloczyn skalarny..

[ak44]

witam, mam problem z prostym zadaniem, co jest bardzo meczace....dlatego tez pisze tutaj liczac ze mi ktos pomoze. Mianowicie, dane sa 2 wektory : \(\displaystyle{ \vec{a}=2\vec{p}-3\vec{q}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=\vec{p}+\vec{q}}\) gdzie: \(\displaystyle{ \left| \vec{p}\right|=1}\) \(\displaystyle{ \left| \vec{q}\right|=2}\) a kąt miedzy tymi wektorami to \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\)
wektor p ma dlugosc \(\displaystyle{ 1}\) wiec jego wspolrzedne to: \(\displaystyle{ \vec{p}=[1,0]}\) wektor \(\displaystyle{ \vec{q}}\) ma dl \(\displaystyle{ 2}\) wiec jego wspolrzedne to \(\displaystyle{ \vec{q}=[2,0]}\) wg moich obliczen nastepnie : \(\displaystyle{ \vec{a}=2 \cdot [1,0]-3 \cdot [2,0]}\) i dalej \(\displaystyle{ \vec{b}=[1,0]+[2,0]}\) i otrzymalem 2 wektory : \(\displaystyle{ \vec{a}=[-4,0]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=[3,0]}\) i teraz najwazniejsze..iloczyn wektorowy to : \(\displaystyle{ -4 \cdot 3+0 \cdot 0=-12}\)
i dlaczego nie otrzymuje takiego samego wyniku liczac \(\displaystyle{ \left| \vec{a}\right| \cdot \left| \vec{b}\right| \cdot \cos \alpha}\) prosze o pomoc

[octahedron]

Choćby dlatego, że kąt między wektorami \(\displaystyle{ [1,0]}\) i \(\displaystyle{ [2,0]}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\). Nie da się określić poszczególnych składowych tych wektorów.

\(\displaystyle{ \vec{a}\cdot\vec{b}=\left(2\vec{p}-3\vec{q}\right) \cdot \left(\vec{p}+\vec{q}\right)=2\vec{p} \cdot \vec{p}+2\vec{p}\cdot\vec{q}-3\vec{q}\cdot\vec{p}-3\vec{q}\cdot\vec{q}=\\\\
=2\left| \vec{p}\right|-\left| \vec{p}\right| \left| \vec{q}\right| \cos\frac{2\pi}{3}-3\left| \vec{q}\right|}\)