sprawdź, czy punkt leży na prostej przebijającej powierzchni

[wsh]

Sprawdź czy punkt \(\displaystyle{ Q(34,20,15)}\) leży na prostej k normalnej do powierzchni S danej wzorem \(\displaystyle{ S= x^{y}-z=0}\) i przebijającej S w punkcie \(\displaystyle{ P(2,4,16)}\)

Nie mam koncepcji, może spróbować napisać wektor normalny a później sprawdzić czy punkt należy (ale trudno będzie przekształcić r-nie) - albo z gradientu, tylko jak?

[Majeskas]

Znaleźć za pomocą gradientu równanie prostej normalnej przechodzącej przez \(\displaystyle{ P}\) i sprawdzić, czy \(\displaystyle{ Q}\) do niej należy.

[wsh]

Obliczam gradient, wyszło mi: \(\displaystyle{ fgrad=[yx^{y-1},x^{y}lnx,-1]}\). Ten gradient jest wektorem normalnym płaszczyzny. Podstawiam punkt \(\displaystyle{ P}\) i gradient do wzoru na równanie prostej kanonicznej i otrzymuje: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{yx^{y-1}}=\frac{y-4}{x^{y}lnx}=\frac{z-6}{-1}}\). Teraz wystarczy wstawić współrzędne punktu \(\displaystyle{ Q}\) i sprawdzić czy równania się zgadzają?

[Majeskas]

To co trzymałeś nie wygląda za bardzo na równanie płaszczyzny.

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^y-z}\)

\(\displaystyle{ \textup{grad}\,F(x,y,z)=[yx^{y-1},x^y\ln x,-1]}\)

\(\displaystyle{ \textup{grad}\,F(P)=[4\cdot2^3,2^4\ln 2,-1]=[32,16\ln2,-1]}\)

W takim razie prosta normalna do powierzchni \(\displaystyle{ S}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ P}\) to:

\(\displaystyle{ k=(2,4,16)+\textup{lin}([32,16\ln2,-1])}\)

Teraz nietrudno sprawdzić, czy \(\displaystyle{ Q\in k}\).

[lucask]

Witam, mam jeszcze jedno pytanie do tego zadania, a właściwie do samego obliczania gradientu: gradient obliczamy jako pochodne cząstkowe z funkcji, którą dana jest płaszczyzna czyli \(\displaystyle{ S= x^{y}-z=0}\) czyli jak rozumiem, przekształcamy to do postaci \(\displaystyle{ z= x^{y}}\) i kolejno liczymy i podstawiamy za zmienne współrzędne punktu P
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x} (x^{y})=yx ^{y-1} \\ \frac{ \partial }{ \partial y} (x^{y})=x^{y}lnx\\}\)

No i właśnie tutaj moje pytanie: jak policzyć pochodną cząstkową po z? Skąd bierze się to -1?

[Majeskas]

To nie jest płaszczyzna, tylko powierzchnia. Obliczamy gradient funkcji \(\displaystyle{ F\colon\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}\), której poziomicą jest zbiór \(\displaystyle{ S}\).
\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^y-z}\)
\(\displaystyle{ S=\left\{ P\in\mathbb{R}^3:\ F(P)=0\right\}}\)

Zresztą dokładnie to opisałem w swoim rozwiązaniu i chyba nietrudno stwierdzić, że pochodna cząstkowa funkcji \(\displaystyle{ F}\) w przykładzie po \(\displaystyle{ z}\) wynosi \(\displaystyle{ (-1)}\).