współrzędne sferyczne

[kalik]

Wykorzystując współrzędne sferyczne obliczyć objętość bryły V ograniczonej przez
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 4\; ,\; y\leqslant \sqrt{x^{2}+z^{2}}}\)
Może ktoś wytłumaczyć jak się szuka współrzędnych sferycznych na podstawie rysunku?
\(\displaystyle{ r\in [0,2]\\\varphi \in [0,2\pi ]}\)
Nie wiem jak wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ \psi}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ y\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

Ten warunek jest poprawnie? Bo to jest zawsze prawda dla każdych \(\displaystyle{ x,y}\).

[kalik]

pomyłka już poprawiłem

[octahedron]

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\sin\theta\cos\varphi\\z=r\sin\theta\sin\varphi\\y=r\cos\theta\end{cases}\\\\
V=\int_0^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^\pi\int_0^2 r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi}\)

[kalik]

skąd wiesz że takie są granice całkowania, zawsze takie są? (odnośnie kąta o który pytałem)

[octahedron]

\(\displaystyle{ y\le\sqrt{x^2+z^2} \Rightarrow r\cos\theta\le r|\sin\theta| \Rightarrow \cos\theta\le |\sin\theta| \Rightarrow \frac{\pi}{4}\le\theta\le\pi}\)