płaszczyzna styczna do powierzchni

[michalczeski]

witam ma takie oto zadanie:
wyznaczyć różniczkę zupełną :
\(\displaystyle{ f(x,y)=xy \sqrt{x ^{3}- y^{2} } + \frac{4y}{x}+sin(y ^{2}-2x)}\)
w punkcie P(2,2). Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) w punkcie leżącym nad P.
różniczka zupełna to : \(\displaystyle{ df=12dx+6dy}\)
I TU SIĘ ZACZYNA PROBLEM
problem mam z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\) ztyczną do powierzchni z, w rozwiązaniu mam tak
(1)\(\displaystyle{ z-z _{0}=12(x-x _{0})+6(y-y _{0})}\)
(2)\(\displaystyle{ z _{0}=f(x _{0},y _{0})=2+4+0=6}\)
(3)\(\displaystyle{ z-6=12(x-2)+6(y-2)}\)
(4)\(\displaystyle{ \pi : 12x+6y-z-18=0}\)

nie rozumiem kroków 1,2,3 i 4, skąd się wzięły te wartości w kroku 2(jakie są współrzędne \(\displaystyle{ z _{0}}\)) ?

Proszę o wytłumaczenie mi tego

za pomoc z góry dziękuję

Michał

[pchor]

1) \(\displaystyle{ z-z _{0}=df}\)
\(\displaystyle{ x-x _{0}=dx}\)
\(\displaystyle{ y-y _{0}=dy}\)

2) podstawione współrzędne punktu P do wzoru funkcji \(\displaystyle{ z _{0} =f(2,2)}\) i wyliczona wartość współrzędnej zetowej.

3)Podstawienie \(\displaystyle{ x _{0} y_{0} z _{0}}\) do wzoru (1)

4) rachunki i wyznaczenie wzoru płaszczyzny

[michalczeski]

a czy mógł byś mi podać wzór na funkcję \(\displaystyle{ z _{0}}\)
bo jak wstawię współrzędne pkt. P do \(\displaystyle{ f(x,y)=xy \sqrt{x ^{3}- y^{2} } + \frac{4y}{x}+sin(y ^{2}-2x)}\) to wyjdzie 13

[pchor]

\(\displaystyle{ z _{0} =f(x _{0},y _{0})=f(2,2)=2 \cdot 2 \sqrt{2 ^{3}-2 ^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{2} +sin(2 ^{2}-2 \cdot 2)=4 \sqrt{4} +4+0=12}\)