elipsa styczna do dwóch prostych

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
niebieska_biedronka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 397
Rejestracja: 8 paź 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 19 razy

elipsa styczna do dwóch prostych

Post autor: niebieska_biedronka »

Zadanie brzmi: Elipsa jest styczna do dwóch prostych: \(\displaystyle{ x+y=5}\) i \(\displaystyle{ x-4y=10}\). Znaleźć równanie elipsy przy założeniu, że osie jej pokrywają się z osiami współrzędnych.

Zupełnie nie mam pomysłu jak wykorzystać metody poznane na algebrze do wyznaczenia tego równania, próbowałam jedynie kombinować rachunkiem różniczkowym, ale niestety obliczenia były zbyt skomplikowane...
Bardzo proszę o wskazówki
Ostatnio zmieniony 20 cze 2012, o 21:08 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Matematyk_64
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 cze 2012, o 23:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Legnica
Pomógł: 5 razy

elipsa styczna do dwóch prostych

Post autor: Matematyk_64 »

Wystarczy trochę algebry i znajomość równań kwadratowych
Elipsa, której osie pokrywają się z osiami układu ma równanie
\(\displaystyle{ Ax^2+By^2-1=0}\)
Prosta styczna ma jeden punkt wspólny z elipsą
Przykładowo prosta
\(\displaystyle{ y=5-x}\)
Po wstawieniu do równania elipsy mamy
\(\displaystyle{ Ax^2+B(5-x)^2-1=0}\)
To równanie kwadratowe, które musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jego \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
Tutaj po serii obliczeń wychodzi, że
\(\displaystyle{ \Delta = 4A+4B-100AB}\)

Identycznie robimy z drugą prostą
Oba wzory na deltę będą zawierać A i B - to niewiadome.
Składasz

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4A+4B-100AB = 0 \\ (wzor drugiej delty) =0 \end{cases}}\)

Ten układ rozwiązujesz otrzymując A i B
Awatar użytkownika
niebieska_biedronka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 397
Rejestracja: 8 paź 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 19 razy

elipsa styczna do dwóch prostych

Post autor: niebieska_biedronka »

no tak, najprostsze rozwiązania są najtrudniejsze wielkie dzięki za pomoc!
ODPOWIEDZ