Obrót o kąt i przesunięcie

soprano · Post autor: **soprano** » 19 cze 2012, o 19:16

Napisać równanie prostej \(\displaystyle{ y=x}\) po jej obrocie o kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) i przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ u=[3,-1]}\)

Mamy wzór na obrót punktu wokół początku ukł współ.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=xcos \alpha -ysin \alpha \\y'=xsin \alpha +ycos \alpha \end{cases}}\)

Primy to nowe współrzędne, zatem wstawiamy kąt dostajemy układ równań z wyznaczonymi primami i jak to teraz zastosować do równania prostej \(\displaystyle{ y=x}\) ?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 19 cze 2012, o 19:27

A może bez korzystania ze wzoru?

Pod jakim kątem jest nachylona prosta \(\displaystyle{ y=x}\) do osi \(\displaystyle{ OX}\)? Pod jakim kątem będzie ta prosta nachylona do osi \(\displaystyle{ OX}\) po obrocie? Z przesunięciem nie powinieneś mieć już kłopotu.

soprano · Post autor: **soprano** » 19 cze 2012, o 19:30

Właśnie bez korzystania jest prosto, ale idzie o metode ze wzorem bo później zadania są znacznie bardziej skomplikowane, trzeba obracać elipsy, okręgi, parabole....

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 19 cze 2012, o 19:37

Wstaw daną wartość kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) i równanie wyjściowej prostej \(\displaystyle{ y=x}\), np. do pierwszej z zależności \(\displaystyle{ x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha}\), otrzymasz łatwo \(\displaystyle{ x'=0}\).

soprano · Post autor: **soprano** » 19 cze 2012, o 20:05

Ja to widzę tak....

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x'cos \alpha +y'sin \alpha \\y=-x'sin \alpha +y'cos \alpha \end{cases}}\)

i wtedy podstawiam \(\displaystyle{ x,y}\) pod wzór tej prostej i dostaję wzór prostej po obrocie.... Co sądzisz o takim podejściu ?