Równania płaszczyzn

[michal422]

Zad. 1
Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do płaszczyzn:

\(\displaystyle{ 2x-y+5x+3=0}\)

\(\displaystyle{ x+3y-z-7=0}\)

Zad. 2
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(1,5,1)}\) i równoległej do wektorów\(\displaystyle{ \vec{r}=[2,1,6]}\) i \(\displaystyle{ \vec{s}=[-1,5,6]}\)

Zad. 3
Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P(1,3,2)}\),\(\displaystyle{ Q(-2,3,1)}\) i prostopadłej do płaszczyzny:

\(\displaystyle{ 2x-4y+z-1=0}\)

Zad.4
Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P(3,1,-2)}\) i prostą \(\displaystyle{ \frac{x-4}{5} = \frac{y+3}{2} = \frac{z}{1}}\)

Zad. 5
Napisać równanie płaszczyzny równoległej do osi x przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P(4,0,-2)}\),\(\displaystyle{ Q(5,1,7)}\)

[miodzio1988]

gdzie tutaj są problemy?

[michal422]

W zad. 2 mam problem z policzeniem współczynników kierunkowych
Rozwiązanie:
-wyznaczam równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P:
A(x-1)+B(y-5)+C(z-1)=0
- Iloczyn wektorowy danych wektorów –oblicze współczynniki kierunkowe:

[lukasz1804]

Oznaczmy równanie płaszczyzny: \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)

zad 1. Oczywiście \(\displaystyle{ D=0}\). Dalej skorzystaj z warunku prostopadłości wektora normalnego szukanej płaszczyzny do wektora normalnego każdej z dwóch danych płaszczyzn.

zad 2. Wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do każdego z wektorów \(\displaystyle{ \vec{r}, \vec{s}}\).

zad 3. Wektor normalny szukanej i danej płaszczyzny są wzajemnie prostopadłe. Wykorzystaj też fakt, że płaszczyzna przechodzi przez dane dwa punkty.

zad 4. Odczytaj z równania prostej jej wektor kierunkowy. Wektor normalny szukanej płaszczyzny jest do niego prostopadły. Wykorzystaj też współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\).

zad 5. Zauważ, że za wektor równoległy do osi \(\displaystyle{ OX}\) można przyjąć \(\displaystyle{ [1,0,0]}\). Wektor normalny szukanej płaszczyzny ma być do niego prostopadły, więc na pewno \(\displaystyle{ A=0}\). Wykorzystaj współrzędne dwóch danych punktów.


W każdym z zadań doprowadź równanie płaszczyzny do postaci zależnej tylko od jednego parametru spośród \(\displaystyle{ A,B,C,D}\). To powinno Ci pomóc w ostatecznym wyznaczeniu równania płaszczyzny.