Elementy geometrii różniczkowej

[paewel]

Witam, potrzebuję rozwiązań zadań następujących z geometrii różniczkowej. Każde rozwiązanie będzie bardzo przydatne

1. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie krzywą z parametryzacją regularną \(\displaystyle{ \varphi : I \rightarrow \mathbb{R}^n.}\) Znajdź równoważną parametryzację naturalną.

2. Podaj definicję reperu Freneta. Jak się zachowuje reper przy zmianie orientacji krzywej?

3. Pokaż, że wektor styczny do krzywej regularnej \(\displaystyle{ K}\) leżącej na powierzchni regularnej \(\displaystyle{ S}\) jest styczny do powierzchni \(\displaystyle{ S}\).

4. Pokaż, że wektor binormalny geodezyjnej na powierzchni \(\displaystyle{ S}\) jest styczny do \(\displaystyle{ S}\).

5. Niech \(\displaystyle{ X, Y : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) będą gładkimi polami wektorowymi i \(\displaystyle{ Z=[X,Y]}\). Uzasadnij stwierdzenie: jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są styczne do powierzchni regularnej \(\displaystyle{ S}\), to \(\displaystyle{ Z}\) też jest styczny do \(\displaystyle{ S}\)

6. Niech \(\displaystyle{ M_1}\) i \(\displaystyle{ M_2}\) będą rozmaitościami gładkimi i niech \(\displaystyle{ M=M_1 \times M_2}\). Skonstruuj strukturę różniczkową na \(\displaystyle{ M}\).

7. Znajdź krzywizny główne, Gaussa i średnią powierzchni \(\displaystyle{ z=x^2+2y^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)

8. Znajdź długość geodezyjnej łączącej \(\displaystyle{ p=(1,0,\frac{ \sqrt{5} }{2})}\) i \(\displaystyle{ q=(-1,0,\frac{ \sqrt{5} }{2})}\) na stożku \(\displaystyle{ \frac{4}{5}z^2=x^2+y^2.}\)

9. Oblicz nawias Liego pól wektorowych na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3:X= \sum_{k=1}^{3}x_k\frac{\partial}{\partial x_k}}\) i \(\displaystyle{ Y = x_2x_3\frac{\partial}{\partial x_1} +x_1x_3\frac{\partial}{\partial x_2}+x_2x_1\frac{\partial}{\partial x_3}}\)

10. Pokaż, że \(\displaystyle{ \left[ \frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j} \right]=0}\). Korzystając z tego pokaż, że \(\displaystyle{ [\partial_i, \partial_j]=0}\), gdzie \(\displaystyle{ \partial_i f=\frac{\partial (f\circ \varphi^{-1})}{\partial x_i} \circ \varphi}\) dla pewnej mapy \(\displaystyle{ \varphi : U \rightarrow \mathbb{R}^n}\) i funkcji \(\displaystyle{ f:U\rightarrow \mathbb{R}}\).

[Kartezjusz]

1. Jesli parametryzacja jest regularna, to i różniczkowalna. Wtedy w zależności od położenia Krzywej( w jakiej przestrzeni ) mamy,że parametyzacją nazwiemy
\(\displaystyle{ || \gamma ' ||}\)

[paewel]

Dziękuję Każda odpowiedź przybliża mnie do zaliczenia tego przedmiotu.

[brzoskwinka1]

Kod: Zaznacz cały

http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Dg-wstep.pdf

[paewel]

Dziękuję za link, ale tam znajdują się wyłącznie twierdzenia, definicje i dowody a tu potrzebne mi są rozwiązane zadania..

[Kartezjusz]

2.Reper Freneta to rozkład wektora stycznego na składowe prostopadłe. Jeśli wektor zamienia znak na przeciwny to wektory sumujące też czyli oba wektory reperu zamieniają znak na przeciwny.
3.