jak narysować te bryły? Co one przedstawiają?

[ten_typ]

witam

mam pytanie jak w temacie:

Co przedstawiają dane równania? Jak narysować bryły opisane tymi równaniami? (wystarczy jakiś krótki poradniczek, jakieś step by step).

1. \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4}\) oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2=3z}\)

2. \(\displaystyle{ z=4-y^2}\)
\(\displaystyle{ z=y^2+2}\)
\(\displaystyle{ x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=2}\)

3. \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=9}\) oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=6z}\)

[szw1710]

Jeśli w równaniu występuje wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+y^2,}\) oznacza to, że powierzchnia jest obrotowa i obrót jest dookoła osi \(\displaystyle{ z.}\) Jaką linię obracamy? W celu ustalenia tego faktu wstawiasz np. \(\displaystyle{ y=0}\) i masz w układzie \(\displaystyle{ xz}\) gotowe równanie linii.

ad 1.

\(\displaystyle{ x^2+y^2=3z}\)

Dla \(\displaystyle{ y=0}\) masz \(\displaystyle{ z=\frac{1}{3}x^2}\) więc taką parabolę obracamy.

Inny przykład:

\(\displaystyle{ z=1-\sqrt{x^2+y^2}}\)

Dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy \(\displaystyle{ z=1-\sqrt{x^2}=1-|x|}\)

Więc jest to powierzchnia stożkowa.

[ten_typ]

O, zaczynam już łapać o co chodzi w te klocki
Skupię się na tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4}\) oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2=3z}\)
pierwsze równanie określa sferę, drugie paraboloidę. Jak narysować tą bryłę? Domyślam się że wynikiem będzie przecięcie sfery o promieniu 2 z tą paraboloidą. Ale jak się dalej do tego zabrać?

[szw1710]

Normalnie - narysować w przekroju płaszczyzną \(\displaystyle{ xz,}\) czyli po prostu parabolę i okrąg i teraz wyobrazić sobie obrót, albo też narysować po obrocie. Ja rysownikiem nie jestem i nie umiem tak narysować, żeby było coś widać, ale wyobrazić sobie umiem

[ten_typ]

okej rozumiem. Mam jeszcze pytanie, czy dobrze wyznaczyłem dla tej bryły współrzędne sferyczne?
\(\displaystyle{ 0 \le \partial \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le R \le 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{- \pi}{2} \le \alpha \le \frac{ \pi }{3}}\)
Chodzi mi o R i o alfę.

[szw1710]

Nie. Jeśli chcesz liczyć objętość, zrób to za pomocą całki podwójnej po rzucie bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ xy.}\) Zastosuj współrzędne biegunowe. Współrzędne sferyczne są tu... ryzykowne.

[ten_typ]

a za pomocą współrzędnych walcowych? Da się to przedstawić?

[szw1710]

To identyczna sprawa co współrzędne biegunowe na płaszczyźnie. Dobranoc.