Punkty wspólne z hiperpłaszczyzną

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Bodzara
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 11 cze 2012, o 10:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Szczecin

Punkty wspólne z hiperpłaszczyzną

Post autor: Bodzara »

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) dana jest prosta p i hiperpłaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) :
\(\displaystyle{ p:}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=3+ \left( -1 \right) t \\
x _{2}=1+t\\
x_{3}= -4+2t\\
x_{4}= 1+t\\
\pi :\\
x _{1}=1+5s+4r+ \left( -1 \right) w \\
x _{2}=0+2s+r+2w\\
x_{3}= 0+ \left( -3 \right) s+ \left( -1 \right) r+ \left( -5 \right) w\\
x_{4}= 1+s+0r+3w}\)


Sprawdzić czy prosta ma punkty wspólne z hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Ostatnio zmieniony 12 cze 2012, o 13:16 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Punkty wspólne z hiperpłaszczyzną

Post autor: scyth »

Mamy układ czterech równań z czterema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
3-t=1+5s+4r-w \\
1+t=2r+s+2w \\
-4+2t=-3s-r-5w \\
1+t=s+3w
\end{cases}}\)

Trzeba to uporządkować:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4r+5s-w+t=2 \\
2r+s+2w-t=1 \\
-r-3s-5w-2t=-4 \\
s+3w-t=1
\end{cases}}\)

i rozwiązać, np. metodą wyznacznikową:
\(\displaystyle{ W = \begin{vmatrix} 4 & 5 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \\ -1 & -3 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = -98}\)
Ponieważ wyznacznik jest niezerowy, istnieje rozwiązanie układu, zatem prosta ma punkt wspólny z hiperpłaszczyzną.
ODPOWIEDZ