obracanie układu, znajdowanie starych współrzędnych

[prawyakapit]

Układ O'X'Y' powstaje przez obrót o kąt \(\displaystyle{ \alpha= \frac{-\pi}{2}}\) i przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ u=[-1,2]}\)

punkt q ma w nowym układzie wspołrzedne \(\displaystyle{ (2,1)}\) jakie współrzedne miał punkt q w układzie OXY


wyszło mi że było to \(\displaystyle{ (0,0)}\) ale po sprawdzeniu nie zgadza mi się.

[Marmat]

Wzory na nowe współrzędne punktu po obrocie układu o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ x^{'}=x \ cos \alpha + y \ sin \alpha \\
y^{'}=-x \ sin \alpha +y \ cos \alpha}\)
Aby znaleźć współrzędne początkowe mając współrzędne końcowe należy najpierw przesunąć układ o wektor [1,-2], a później obrócić układ o kąt \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{2}}\), czyli postąpić dokładnie odwrotnie niż w naszym przekształceniu.
wzory na współrzędne punktu po przesunięciu układu o wektor [a,b]:
\(\displaystyle{ x^{'}=x-a \\
y^{'}=y-b}\)
Czyli najpierw po przesunięciu układu o wektor [1,-2] otrzymujemy nowe współrzędne punktu (1,3):
(1,3) i dalej obracamy układ o kąt \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ x{'}=y \\
y^{'}=-x}\)
Otrzymujemy współrzędne:(3,-1)
Oczywiście rozumiem,że obrót był wokół początku układu współrzędnych.
Pozdrawiam

[Majeskas]

Spójrzmy na jaką bazę przechodzi standardowa baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).

Nasze przekształcenie jest izometrią afiniczną, część liniowa jest obrotem o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), zatem jej macierz wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]}\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ f\left(\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ f(\varepsilon_1)=f\left(\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ f(\varepsilon_2)=f\left(\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left\{ f(\varepsilon_1),f(\varepsilon_2)\right\}}\)

\(\displaystyle{ q=(2,1)_{\mathcal{A}}=2f(\varepsilon_1)+f(\varepsilon_2)=2(-1,1)+(0,2)=(-2,4)_{\textrm{st}}}\)

-- 6 czerwca 2012, 22:58 --

Wzory na nowe współrzędne punktu po obrocie układu o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ x^{'}=x \ cos \alpha + y \ sin \alpha \\
y^{'}=-x \ sin \alpha +y \ cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos\alpha-y\sin\alpha\\x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{array}\right]}\)

[prawyakapit]

Marmat uważam że twoje rozwiązanie znajduje punkty w nowym układzie a nie w starym ,miałam na zajęciach podany następujący wzór:

\(\displaystyle{ (x,y)=t_{ \vec{u} } \circ \phi(x',y')}\)

zatem z tego by wynikało że wystarczy w tym przypadku podstawić do wzoru.