Odległość od prostych

[biala099]

Policzyć odległość prostej \(\displaystyle{ l}\) od \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l}\) od \(\displaystyle{ l_{2}}\) , gdzie:
\(\displaystyle{ l: \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix} \cdot t + \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix} \\ \\
l_{1} : \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\0\\2\end{bmatrix} \cdot t + \begin{bmatrix} 3\\1\\2\end{bmatrix} \\ \\
l_{2} : \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix} \cdot t + \begin{bmatrix} 4\\2\\1\end{bmatrix}}\)
Proszę o pomoc bo nie wiem jak się zabrać za te zadania.

[octahedron]

Jeśli mamy dwie proste dane parametrycznie:

\(\displaystyle{ l:\vec{x}=\vec{u}\cdot t+\vec{P}\\
k:\vec{x}=\vec{w}\cdot t+\vec{Q}}\)

to ich odległość oblicza się tak:

\(\displaystyle{ \vec{u}\parallel\vec{w} \Rightarrow d(l,k)=\left| \left( \vec{P}-\vec{Q}\right) -\left( \left( \vec{P}-\vec{Q}\right)\cdot\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\right) \cdot\vec{u}\right| \\\\
\vec{u}\parallel\vec{w} \Rightarrow \vec{n}=\vec{u}\times\left( \vec{P}-\vec{Q}\right) \times\vec{u}\Rightarrow d(l,k)=\frac{\left| \left( \vec{P}-\vec{Q}\right)\cdot\vec{n}\right|}{|\vec{n}|}\\\\
\vec{u}\nparallel\vec{w} \Rightarrow \vec{n}=\vec{u}\times\vec{w}\Rightarrow d(l,k)=\frac{\left| \left( \vec{P}-\vec{Q}\right)\cdot\vec{n}\right|}{|\vec{n}|}}\)

[biala099]

Dzięki bardzo za wzory jednak dalej jest to dla mnie abstrakcją ;/ mogłbyś przynajmniej pokazać mi jak liczyć pierwszą odległość?

[octahedron]

Tutaj zginęła potęga:
\(\displaystyle{ \vec{u}\parallel\vec{w} \Rightarrow d(l,k)=\left| \left( \vec{P}-\vec{P}_1\right) -\left( \left( \vec{P}-\vec{P}_1\right)\cdot\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|^{\red 2}}\right) \cdot\vec{u}\right|\\\\
l:\,\vec{u}=[1,0,1],\,\vec{P}=[0,1,0]\\
l_1:\,\vec{u}_1=[2,0,2],\,\vec{P_1}=[3,1,2]\\
l_2:\,\vec{u}_2=[1,2,3],\,\vec{P_2}=[4,2,1]\\\\
\vec{P}_1-\vec{P}=[3,0,2]\\
\vec{P}_2-\vec{P}=[4,1,1]\\
|\vec{u}|^2=2\\
d(l,l_1)=\left|[3,0,2]-\left( \frac{[3,0,2]\cdot [1,0,1]}{2}\right)\cdot[1,0,1] \right|=\left|[3,0,2]-\left( \frac{5}{2}\right)\cdot[1,0,1] \right|=\\\\
=\left|\left[ 3-\frac{5}{2},0,2-\frac{5}{2}\right] \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2} \right)^2 }=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Drugi wzór ma prostszą wersję:

\(\displaystyle{ \vec{u}\parallel\vec{u}_1 \Rightarrow d(l,l_1)=\frac{\left| \left( \vec{P}-\vec{Q}\right)\times\vec{u}\right| }{|\vec{u}|}=\frac{\left| [3,0,2]\times[1,0,1]\right| }{\sqrt{2}}=\frac{\left| \det\begin{bmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&0&2\\1&0&1\end{bmatrix}\right| }{\sqrt{2}}=\\\\
=\frac{\left|[0,1,0]\right| }{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ \vec{u}\nparallel\vec{u}_2 \Rightarrow d(l,l_2)=\frac{\left| \left( \vec{P}_2-\vec{P}\right)\cdot\left( \vec{u}\times\vec{u}_2\right) \right|}{|\vec{u}\times\vec{u}_2|}\\\\
\vec{u}\times\vec{u}_2=[1,0,1]\times[1,2,3]=\det\begin{bmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&1\\1&2&3\end{bmatrix}=[-2,-2,2]\\\\
d(l,l_2)=\frac{\left| [4,1,1]\cdot[-2,-2,2]\right| }{|[-2,-2,2]|}=\frac{4}{\sqrt{3}}}\)