Złożenie symetrii

[Ktos_88]

Proszę o pomoc. Przedstawić izometrię \(\displaystyle{ f([x,y])=[-y,x]}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbbb{R} ^2}\) jako złożenie symetrii osiowych.

[JakimPL]

Warto się zastanowić, jak ta symetria działa i jaką ma parzystość - raczej to obroty przedstawia się jako złożenie symetrii. Najłatwiej sprawdzić to, przerzucając dwa punkty nieleżące na prostej, np. \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (3,2)}\). Po krótkim takim eksperymencie myślowym, dochodzimy do wniosku, iż faktycznie jest to obrót.

1. Wybieramy dowolną oś, najlepiej taką, żeby łatwo się liczyło, np. \(\displaystyle{ x=0}\). Wtedy mamy \(\displaystyle{ f_1([x,y])=[-x,y]}\).
2. Szukamy takiej osi, że:

\(\displaystyle{ f_2([-x,y])=[-y,x]=f([x,y])}\).

Możemy rozpisać macierz \(\displaystyle{ f_1}\) \(\displaystyle{ A_1}\) i macierz \(\displaystyle{ f}\) \(\displaystyle{ A}\) oraz rozwiązać równanie macierzowe:

\(\displaystyle{ A_1 \cdot A_2 = A}\)

gdzie \(\displaystyle{ A_2}\) to macierz \(\displaystyle{ f_2}\) lub też bezpośrednio:

\(\displaystyle{ f([-x,y]) = [-y,x]}\); a zatem podstawiając \(\displaystyle{ -x}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f([x,y]) = [y,x]}\). Finalnie \(\displaystyle{ f = f_1 \circ f_2 = f_1(f_2([x,y]))=f_1([y,x])=[-y,x]}\).

Inny sposób polega na zastosowaniu algorytmu znanego z twierdzenia Cartana-Dieudonné.

[Ktos_88]

Z algorytmu robiłam tak.
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}0 && -1 \\ 1 && 0 \end{bmatrix}}\) to macierz endomorfizmu w bazie jednostkowej. Teraz korzystam ze wzoru
\(\displaystyle{ \gamma _{1} = f(\epsilon _1) - \epsilon _1}\)= \(\displaystyle{ \epsilon _2 - \epsilon _1}\)
no i ten wektor \(\displaystyle{ \gamma _1}\) jest izotropowy więc nie mogę zasotosować wzoru na \(\displaystyle{ \tau _{\gamma _1} (\epsilon _2)}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ \gamma _2 = f( \epsilon _2) - \tau _{\gamma _1} (\epsilon _2)}\)

[JakimPL]

Izotropowy? W geometrii euklidesowej chyba nie ma wektorów izotropowych.

Przelicz jeszcze raz, to wyjdzie wektor \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

[Ktos_88]

\(\displaystyle{ \epsilon _2 - \epsilon _1}\) to \(\displaystyle{ [-1,1]}\) czyli zwykły iloczyn skalarny?

[JakimPL]

Jeżeli nigdzie to nie jest napisane inaczej, to zwykły iloczyn skalarny.