byłabym bardzo wdzięczna.
Punkty \(\displaystyle{ A=(4,3)}\) i \(\displaystyle{ B=(−3,4)}\) należą do okręgu o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\). Znajdź w tym okręgu taki punkt \(\displaystyle{ M}\), by wektor \(\displaystyle{ \vec{OA}+\vec{OM}+\vec{OB}}\) był najdłuższy
punkt na okręgu
punkt na okręgu
Ostatnio zmieniony 31 maja 2012, o 08:58 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie podpinaj się pod cudze tematy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie podpinaj się pod cudze tematy.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
punkt na okręgu
Na początku małe sprostowanie: punkt \(\displaystyle{ M}\) leży na okręgu, nie w okręgu.
Obawiam się, że nie dysponujesz jeszcze wystarczającą wiedzą z funkcji trygonometrycznych (w szczególności przydatnymi tożsamościami). Jeśli jednak tak nie jest, to spójrz na moje rozumowanie.
Równanie okręgu przechodzącego przez \(\displaystyle{ A,B}\) to oczywiście \(\displaystyle{ x^2+y^2=25}\). Zauważ, że każdy punkt na tym okręgu, w szczególności punkt \(\displaystyle{ M}\), można zapisać w postaci \(\displaystyle{ M=(5\cos\alpha, 5\sin\alpha)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,2\pi)}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ \vec{OA}=[4,3], \vec{OB}=[3,4], \vec{OM}=[5\cos\alpha,5\sin\alpha]}\), tj.
Mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha+\sin\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin\alpha=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\). Wystarczy teraz znaleźć wartość \(\displaystyle{ \alpha}\), dla której \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\) ma wartość największą, tj. równą \(\displaystyle{ 1}\). Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\), tj. \(\displaystyle{ M=\left(5\cos\frac{\pi}{4},5\sin\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}\).
Obawiam się, że nie dysponujesz jeszcze wystarczającą wiedzą z funkcji trygonometrycznych (w szczególności przydatnymi tożsamościami). Jeśli jednak tak nie jest, to spójrz na moje rozumowanie.
Równanie okręgu przechodzącego przez \(\displaystyle{ A,B}\) to oczywiście \(\displaystyle{ x^2+y^2=25}\). Zauważ, że każdy punkt na tym okręgu, w szczególności punkt \(\displaystyle{ M}\), można zapisać w postaci \(\displaystyle{ M=(5\cos\alpha, 5\sin\alpha)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,2\pi)}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ \vec{OA}=[4,3], \vec{OB}=[3,4], \vec{OM}=[5\cos\alpha,5\sin\alpha]}\), tj.
\(\displaystyle{ \vec{OA}+\vec{OM}+\vec{OB}=[5\cos\alpha+7,5\sin\alpha+7]}\).
Długość tego wektora będzie największa dokładnie wtedy, gdy kwadrat tej długości będzie największy. Należy zatem wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,2\pi)}\), dla której \(\displaystyle{ (5\cos\alpha+7)^2+(5\sin\alpha+7)^2}\) ma wartość największą. Mamy jednak \(\displaystyle{ (5\cos\alpha+7)^2+(5\sin\alpha+7)^2=25+98+70(\cos\alpha+\sin\alpha)}\), więc wystarczy znaleźć tę wartość \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,2\pi)}\), dla której \(\displaystyle{ \cos\alpha+\sin\alpha}\) ma największą wartość.Mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha+\sin\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin\alpha=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\). Wystarczy teraz znaleźć wartość \(\displaystyle{ \alpha}\), dla której \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\) ma wartość największą, tj. równą \(\displaystyle{ 1}\). Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\), tj. \(\displaystyle{ M=\left(5\cos\frac{\pi}{4},5\sin\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}\).