Dwusieczna kąta

[kuba7687]

Dane są proste \(\displaystyle{ AB, BC, AC,}\) odpowiednio o równaniach: \(\displaystyle{ x+y-5=0, \ x-7y-1=0, \ 2x-2y-1=0.}\)
Równanie prostej l zawierającej dwusieczną kąta wewnętrznego \(\displaystyle{ ABC}\) tego trójkąta można obliczyć w następujący sposób. Niech \(\displaystyle{ (x,y)}\) będą współrzędnymi dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) należącego do dwusiecznej kąta, którego ramiona zawierają boki \(\displaystyle{ AB \ i \ BC.}\) Odległości punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostych \(\displaystyle{ AB \ i \ BC}\) są sobie równe. Zatem \(\displaystyle{ \frac{\left| x+y-5\right| }{ \sqrt{2} }= \frac{\left| x-7y-1\right| }{5 \sqrt{2} }}\). Wynika stąd, że współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) spełniają następujące równania prostych: \(\displaystyle{ x+3y-6=0, \ 3x-y-13=0.}\) Punkty \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) należą do różnych półpłaszczyzn o krawędzi l. Można obliczyć, że \(\displaystyle{ A \left( \frac{11}{4}, \frac{9}{4} \right) , \ C \left( \frac{5}{12}, - \frac{1}{12} \right)}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{11}{4} +3 \cdot \frac{9}{4} -6>0 \ \ \ \frac{5}{12}+ 3 \cdot \left( - \frac{1}{12} \right) -6<0}\), więc dwusieczna l ma równianie \(\displaystyle{ x+3y-6=0.}\)
Postępując w analogiczny sposób, wyznacz dwusieczne pozostałych kątów wewnętrznych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Problem mam w tym, że nie wiem skąd się wzięły równiania: \(\displaystyle{ x+3y-6=0 \ i \ 3x-y-13=0}\)?

[irena_1]

\(\displaystyle{ \frac{|x+y-5|}{\sqrt{2}}=\frac{|x-7y-1|}{5\sqrt{2}}\ /\cdot5\sqrt{2}\\5|x+y-5|=|x-7y-1|\\5x+5y-25=x-7y-1\ \ \vee\ \ 5x+5y-25=-x+7y+1\\5x+5y-25-x+7y+1=0\ \ \vee\ \ 5x+5y-25+x-7y-1=0\\4x+12y-24=0\ /:4\ \ \vee\ \ 6x-2y-26=0\ /:2\\x+3y-6=0\ \ \vee\ \ 3x-y-13=0}\)

[kuba7687]

Ano teraz już wiem....Ale dlaczego do tych równań są podstawione współrzędne punktów A i C?