Witam,
mam do rozwiązania jedno zadanie dotyczące prostych, kątów pomiędzy prostymi itd.
Mamy daną prostą \(\displaystyle{ k}\) równoległą do OZ przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,0)}\), czyli przez wszystkie punkty \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,Q)}\), gdzie \(\displaystyle{ Q\in R}\), mamy dany wektor kierunkowy drugiej prostej \(\displaystyle{ l: \vec{v} = (r,t,-1)}\) przecinający się z prostą k w punkcie \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,z_0)}\).
Znaleźć równanie prostej \(\displaystyle{ m}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,z_0)}\) takie, że \(\displaystyle{ \sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n}}\)(n jest dane, i tak tu jest na pewno sin nie cos) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między prostą \(\displaystyle{ k}\), a prostą \(\displaystyle{ l}\), a \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt pomiędzy prostą \(\displaystyle{ l}\), a prostą \(\displaystyle{ m}\). Podać współrzędne punktu przecięcia prostej \(\displaystyle{ m}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ z+h=0}\). Wszystkie proste leżą na jednej płaszczyźnie.
Bardzo mi zależy na rozwiązaniu tego zadania. Z góry dzięki.
Geometria analityczna - proste
-
Sam jestes fizyk
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Daleko i nieprawda
Geometria analityczna - proste
Ostatnio zmieniony 22 maja 2012, o 15:32 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Geometria analityczna - proste
Na początku bez zmniejszenia ogólności rozważań można przyjąć, że \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są kątami wypukłymi.
Prosta \(\displaystyle{ k}\) ma następującą postać kierunkową \(\displaystyle{ (x_0,y_0,0)+(0,0,1)t}\). Zatem \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r\cdot 0+t\cdot 0+(-1)\cdot 1}{\sqrt{r^2+t^2+1}}=-\frac{1}{\sqrt{r^2+t^2+1}}}\).
Co więcej, prosta \(\displaystyle{ l}\) jest opisana następująco: \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)+(r,t,-1)s}\).
Wyznaczmy wektor normalny płaszczyzny zawierającej proste \(\displaystyle{ k,l}\).
Mamy \(\displaystyle{ [0,0,1]\times[r,t,-1]=\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ r & t & -1 \\ i & j & k \end{array}\right|=-t\cdot i+r\cdot j=[-t,r,0]}\).
Znajdziemy teraz wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{u}=[x,y,z]}\) prostej \(\displaystyle{ m}\).
Skoro \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{r^2+t^2+1}}}\), to mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\sqrt{\frac{r^2+t^2}{r^2+t^2+1}}}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \sin\beta=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{r^2+t^2}{r^2+t^2+1}}}\). W konsekwencji dostajemy \(\displaystyle{ \cos^2\beta=1-\frac{r^2+t^2}{n^2(r^2+t^2+1)}=\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{n^2(r^2+t^2+1)}}\). Stąd zaś otrzymujemy \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\beta=-\frac{1}{n}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}}\).
Rozważmy przypadki.
1) \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}}\)
Mamy \(\displaystyle{ xr+yt-z=\frac{1}{n}\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(r^2+t^2+1)}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}=\sqrt{\left(\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)}{n^2}-1\right)(x^2+y^2+z^2)}}\), ponadto \(\displaystyle{ ry=tx}\), gdyż \(\displaystyle{ [x,y,z]\perp[-t,r,0]}\).
Można teraz zauważyć, że przypadek \(\displaystyle{ x=y=0}\) jest niemożliwy, bowiem wówczas proste \(\displaystyle{ k,m}\) byłyby równoległe. Zatem można przyjąć \(\displaystyle{ x=rq, y=tq}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q}\). Pozostaje tylko wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ z}\) (zależną od \(\displaystyle{ q}\)).
Wówczas można już podać postać prostej \(\displaystyle{ m}\): \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)+(x,y,z)s}\).
Prosta \(\displaystyle{ k}\) ma następującą postać kierunkową \(\displaystyle{ (x_0,y_0,0)+(0,0,1)t}\). Zatem \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r\cdot 0+t\cdot 0+(-1)\cdot 1}{\sqrt{r^2+t^2+1}}=-\frac{1}{\sqrt{r^2+t^2+1}}}\).
Co więcej, prosta \(\displaystyle{ l}\) jest opisana następująco: \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)+(r,t,-1)s}\).
Wyznaczmy wektor normalny płaszczyzny zawierającej proste \(\displaystyle{ k,l}\).
Mamy \(\displaystyle{ [0,0,1]\times[r,t,-1]=\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ r & t & -1 \\ i & j & k \end{array}\right|=-t\cdot i+r\cdot j=[-t,r,0]}\).
Znajdziemy teraz wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{u}=[x,y,z]}\) prostej \(\displaystyle{ m}\).
Skoro \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{r^2+t^2+1}}}\), to mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\sqrt{\frac{r^2+t^2}{r^2+t^2+1}}}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \sin\beta=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{r^2+t^2}{r^2+t^2+1}}}\). W konsekwencji dostajemy \(\displaystyle{ \cos^2\beta=1-\frac{r^2+t^2}{n^2(r^2+t^2+1)}=\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{n^2(r^2+t^2+1)}}\). Stąd zaś otrzymujemy \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\beta=-\frac{1}{n}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}}\).
Rozważmy przypadki.
1) \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}}\)
Mamy \(\displaystyle{ xr+yt-z=\frac{1}{n}\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(r^2+t^2+1)}\sqrt{\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)-n^2}{r^2+t^2+1}}=\sqrt{\left(\frac{(n^2-1)(r^2+t^2)}{n^2}-1\right)(x^2+y^2+z^2)}}\), ponadto \(\displaystyle{ ry=tx}\), gdyż \(\displaystyle{ [x,y,z]\perp[-t,r,0]}\).
Można teraz zauważyć, że przypadek \(\displaystyle{ x=y=0}\) jest niemożliwy, bowiem wówczas proste \(\displaystyle{ k,m}\) byłyby równoległe. Zatem można przyjąć \(\displaystyle{ x=rq, y=tq}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q}\). Pozostaje tylko wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ z}\) (zależną od \(\displaystyle{ q}\)).
Wówczas można już podać postać prostej \(\displaystyle{ m}\): \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)+(x,y,z)s}\).