Kula opisana na 4ch punktach

[asma1313]

Witam. mam za zadanie opisanie kuli na 4ch dowolnie wybranych punktach w przestrzeni 3D
Nie mam pomysłu jak to zrobić niestety. Sam projekt muszę wykonać w programie do modelowania 3d, jednak interesuje mnie sam algorytm. rozumiem ze musze okreslic punkt bedacy w równej odleglosci od kazdego punktu i to bedzie mój środek kuli, jednak jak mam to zrobic?
Będę wdzięczny za każdą pomoc.

[lukasz1804]

Algebraicznie wystarczy rozwiązać układ \(\displaystyle{ 4}\) równań z \(\displaystyle{ 4}\) niewiadomymi (trzy z nich to współrzędne środka kuli, a czwarta to długość promienia).

Spróbuj wykorzystać to rozumowanie do utworzenia odpowiedniego algorytmu.

[asma1313]

rozumiem, że chodzi o coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
R^{2}=(x _{1}-x_{s})^{2} + (y _{1}-y_{s}) \\
R^{2}=(x _{2}-x_{s})^{2} + (y _{2}-y_{s}) \\
R^{2}=(x _{3}-x_{s})^{2} + (y _{3}-y_{s}) \\
\end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x _{1}}\) to x pierwszego punktu itp.
a czwarte równanie?

[lukasz1804]

To co zapisałeś jest dla okręgu (na płaszczyźnie). Dla kuli potrzebujemy natomiast takiego układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=(x_1-x_s)^2+(y_1-y_s)^2+(z_1-z_s)^2 \\ R^2=(x_2-x_s)^2+(y_2-y_s)^2+(z_2-z_s)^2 \\ R^2=(x_3-x_s)^2+(y_3-y_s)^2+(z_3-z_s)^2 \\ R^2=(x_4-x_s)^2+(y_4-y_s)^2+(z_4-z_s)^2 \end{cases}}\)

[asma1313]

No tak, faktycznie, mój bład, zapatrzyłem się na archiwalne zadania. Dziękuję bardzo za pomoc.

[Qń]

Ten układ jest dość skomplikowany, dlatego chyba szybciej użyć metod geometrii analitycznej. Jeśli nasze punkty to: \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), to możemy zacząć od znalezienia płaszczyzn prostopadłych do \(\displaystyle{ AB,BC,CD}\) i przechodzących przez środki tych odcinków, a następnie możemy znaleźć punkt wspólny tych wszystkich płaszczyzn (układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi).

Równanie płaszczyzny prostopadłej do \(\displaystyle{ K(x_1,y_1,z_1)L(x_2,y_2,z_2)}\) i przechodzącej przez środek \(\displaystyle{ KL}\):
\(\displaystyle{ (x_1-x_2)\cdot \left( x - \frac{x_1+x_2}{2}\right) +(y_1-y_2)\cdot \left( y - \frac{y_1+y_2}{2}\right) +(z_1-z_2)\cdot \left( z - \frac{z_1+z_2}{2}\right) =0}\)

Używając wzorów Cramera, łatwo stąd otrzymać (o ile nigdzie się nie pomyliłem w kodzie), że:
\(\displaystyle{ x=\frac{
\begin{vmatrix}
\frac{x_A^2+y_A^2+z_A^2-x_B^2-y_B^2-z_B^2}{2} & y_A-y_B&z_A-z_B\\
\frac{x_B^2+y_B^2+z_B^2-x_C^2-y_C^2-z_C^2}{2} & y_B-y_C&z_B-z_C\\
\frac{x_C^2+y_C^2+z_C^2-x_D^2-y_D^2-z_D^2}{2} & y_C-y_D&z_C-z_D\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
x_A-x_B & y_A-y_B&z_A-z_B\\
x_B-x_C & y_B-y_C&z_B-z_C\\
x_C-x_D & y_C-y_D&z_C-z_D\end{vmatrix}
}}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{
\begin{vmatrix}
x_A-x_B & \frac{x_A^2+y_A^2+z_A^2-x_B^2-y_B^2-z_B^2}{2}&z_A-z_B\\
x_B-x_C &\frac{x_B^2+y_B^2+z_B^2-x_C^2-y_C^2-z_C^2}{2}&z_B-z_C\\
x_C-x_D & \frac{x_C^2+y_C^2+z_C^2-x_D^2-y_D^2-z_D^2}{2}&z_C-z_D\end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
x_A-x_B & y_A-y_B&z_A-z_B\\
x_B-x_C & y_B-y_C&z_B-z_C\\
x_C-x_D & y_C-y_D&z_C-z_D\end{vmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{
\begin{vmatrix}
x_A-x_B & y_A-y_B&\frac{x_A^2+y_A^2+z_A^2-x_B^2-y_B^2-z_B^2}{2}\\
x_B-x_C & y_B-y_C&\frac{x_B^2+y_B^2+z_B^2-x_C^2-y_C^2-z_C^2}{2}\\
x_C-x_D & y_C-y_D&\frac{x_C^2+y_C^2+z_C^2-x_D^2-y_D^2-z_D^2}{2}\end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
x_A-x_B & y_A-y_B&z_A-z_B\\
x_B-x_C & y_B-y_C&z_B-z_C\\
x_C-x_D & y_C-y_D&z_C-z_D\end{vmatrix}}}\)

(oczywiście jeśli wyznacznik z mianownika jest niezerowy, w przeciwnym wypadku punkty są współpłaszczyznowe)

Q.