Styczna do linii, równoległa do osi Oy

[Alosha]

Napisać równanie tych stycznych do linii:
\(\displaystyle{ 4x ^{2}+4xy+y ^{2}-6x+4y+2=0}\) , które są równoległe do osi Oy

Proszę o pomoc .

[octahedron]

\(\displaystyle{ F(x,y)=4x ^{2}+4xy+y ^{2}-6x+4y+2=0}\)

wektor normalny do krzywej:

\(\displaystyle{ \vec{n}=\nabla F(x,y)=\left[ \frac{\partial F}{\partial x};\frac{\partial F}{\partial y}\right]=\left[8x+4y-6;4x+2y+4\right]}\)

skoro prosta ma być równoległa do \(\displaystyle{ OY}\), to \(\displaystyle{ \vec{n}\parallel OX \Rightarrow n_y=0}\)

\(\displaystyle{ 4x+2y+4 \Rightarrow y=-2-2x\\\\
F\left( x,-2-2x\right)=-14x-2=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{7}}\)

szukana styczna ma równanie \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{7}}\)

[Sherlock]

Prosta równoległa do osi OY ma postać \(\displaystyle{ x=c}\). Podstawmy:
\(\displaystyle{ 4c ^{2}+4cy+y ^{2}-6c+4y+2=0 \\ y^2 +y(4c+4)+(4c^2-6c+2)=0}\)
Pozostaje wyliczyć dla jakiego \(\displaystyle{ c}\) powyższe równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

[Alosha]

Dziękuję bardzo za pomoc .-- 16 maja 2012, o 14:38 --Sherlock: o dziwo próbowałam właśnie na początku tak robić i inny wynik otrzymałam. Musiałam jak zwykle machnąć się w rachunkach .

[Sherlock]

Sprawdź rachunki, winno wyjść \(\displaystyle{ x=c=- \frac{1}{7}}\)

[Alosha]

sprawdziłam i jest ok .

[octahedron]

Przy takim podejściu trzeba uważać, bo styczna może przecinać krzywą w jakimś innym punkcie poza punktem styczności. Prosta może też mieć z krzywą jeden punkt wspólny i nie być styczną.

[Alosha]

racja, o tym nie pomyślałam, przyzwyczajona definicją stycznej ze szkoły średniej .