Równanie płaszczyzny

[Ktos_88]

Mam problem z zadaniem. Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej prostą \(\displaystyle{ (0,0,0) + lin([1,0,0])}\) i tworzącej z płaszczyzną \(\displaystyle{ X-Y=0}\) kąt o mierze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Z góry dziękuję za pomoc

[JakimPL]

Znajome zadanie, skąd je masz?

Wystarczy zbadać wektory normalne. Wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ X-Y=0}\) jest \(\displaystyle{ \vec{N_1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right]}\).

Z danej prostej wynika, że wektor normalny płaszczyzny zawierającej tą prostą musi być postaci:

\(\displaystyle{ \vec{N_2}=\left[\begin{array}{c}0 \\ b \\ c\end{array}\right]}\)

Kąt wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\xi(\vec{N_1},\vec{N_2})}{\lVert\vec{N_1}\rVert \cdot \lVert\vec{N_2}\rVert}}\)

Bez straty ogólności możemy unormować wektor \(\displaystyle{ \vec{N_2}}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ \lVert\vec{N_1}\rVert=1}\):

\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{-b}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ b=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Jako że unormowaliśmy wektor, \(\displaystyle{ c=\pm\sqrt{1-\frac{1}{2}}}\). Teraz, mając wektor normalny, nietrudno znaleźć szukaną płaszczyznę.