trójkąt równoboczny, iloczyn skalarny

[arti367]

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości a. Obliczyć \(\displaystyle{ \vec{BC} \cdot \vec{CA}+ \vec{AC} \cdot \vec{AB}+ \vec{BC} \cdot \vec{AB}}\)
-----------------------------------------------------------
trojkat rownoboczny ma wszystkie katy rowne (60 stopni), wiec licze: \(\displaystyle{ 3*(a^2 \cdot cos60)= \frac{3}{2} a^2)}\), odpowiedz prawidłowa: \(\displaystyle{ - \frac{a^2}{2}}\). Gdzie popełniam błąd ? Patrząc na wynik rozumiem, ze chodzi o wartości cosinusa, ale nie umiem dojść do tego.

[janusz47]

Narysuj trójkąt równoboczny, zaznacz Oś Ox zawierającą bok AB trójkąta i wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{CA}, \vec{AC}, \vec{BC}.}\)
\(\displaystyle{ a\cos(120^{0})\cdot a\cos(60^{o}) + a\cos(60^{o})\cdot a + a\cos(120^{o})\cdot a}\)

[Jacek_Karwatka]

Twoje rozumowanie jest słuszne dla drugiego iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ \vec{AC} \cdot \vec{AB}}\)
Tutaj kat jest rzeczywiści 60 stopni.
W pozostałych przypadkach \(\displaystyle{ \vec{BC} \cdot \vec{CA} \ \vec{BC} \cdot \vec{AB}}\) wektory są skierowane przeciwnie (jeden się zaczyna drugi kończy we wspólnym wierzchołku) Kąt między minim jest 120 stopni.