Wierzchołek paraboloidy eliptycznej

[Majeskas]

Mam daną paraboloidę \(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z):\ 5x^2-12xy+10y^2+4y-z+13=0\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left( x\sqrt5-\frac6{\sqrt5}y\right) ^2+\frac{14}5y^2+4y-z+13=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} t_1=x\sqrt5-\frac6{\sqrt5}y \\ t_2=y\sqrt{\frac{14}5}\\t_3=4y-z+13 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ t_1^2+t_2^2+t_3=0}\)

Czy dałoby się wyznaczyć wierzchołek paraboloidy w bazie standardowej inaczej niż poprzez szukanie minimum funkcji dwóch zmiennych?

[Kartezjusz]

Niestety nie. Są różne metody szukania minimów...

[Majeskas]

Rozumiem. Dzięki.

[olekp]

Da się. Paraboloida eliptyczna z wierzchołkiem w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) ma w bazie standardowej wzór \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \pm z}\). Zmień bazę, czyli sprowadź twoje równanie do powyższej postaci przez takie podstawienia, żeby po kolei eliminować wyrazy z \(\displaystyle{ xy}\), \(\displaystyle{ y}\) i wyraz wolny. Weź tak \(\displaystyle{ (x,y,z)=\left(p+\frac{6}{5}y,q-\frac{1}{7},r+\frac{89}{7}\right)}\) i będzie odpowiednia postać \(\displaystyle{ \frac{p^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} + \frac{q^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)^2} = r}\). Teraz widać, że wierzchołek jest w \(\displaystyle{ \left(-\frac{6}{35},-\frac{1}{7},\frac{89}{7}\right)}\).