Współrzędne drugiego punktu wysokości trójkąta

jcubic · Post autor: **jcubic** » 6 maja 2012, o 19:01

Mam trójkąt zdefiniowany za pomocą 3 punktów \(\displaystyle{ A,B,C \in R^n}\) i muszę policzyć współrzędne punktu D. Aby obliczyć \(\displaystyle{ \|BD\|}\) mogę obliczyć sinus ze wzoru na kąt między wektorami \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) a potem wstawiam to do wzoru na sinus \(\displaystyle{ \alpha}\) (z trójkąta prostokątnego). Jak obliczę arcus sinus to będę miał kąt i mogę go podstawić do wzoru na tangens, żeby policzyć \(\displaystyle{ \|AD\|}\) i dalej z tego https://www.matematyka.pl/297111.htm czy tak się to liczy czy może istnieje prostszy lub inny sposób.

: AU; i9Hmb.png (5.96 KiB) Przejrzano 87 razy

kosior · Post autor: **kosior** » 6 maja 2012, o 23:19

jcubic pisze:Mam trójkąt zdefiniowany za pomocą 3 punktów \(\displaystyle{ A,B,C \in R^n}\)

Tzn. masz podane jego współrzędne?

jcubic · Post autor: **jcubic** » 7 maja 2012, o 02:16

Tak mam współrzędne A,B,C i muszę policzyć współrzędne punktu D.

kosior · Post autor: **kosior** » 7 maja 2012, o 13:01

nie potrzebne Ci są do tego długości boków, ani żadne kąty.
Najpierw znajdź wzór prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\).
Później znajdź wzór prostopadłej do niej prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B}\).
Na koniec znajdź punkt wspólny tych dwóch prostych i to właśnie będzie ten punkt \(\displaystyle{ D}\).

jcubic · Post autor: **jcubic** » 7 maja 2012, o 13:29

Czy da się to policzyć dla n wymiarów np 30? Normę wektora, iloczyn skalarny i wektorowy mogę policzyć.

kosior · Post autor: **kosior** » 7 maja 2012, o 13:40

Myślałem, że chodzi o trójkąt w kartezjańskim układzie współrzędnych. Dla innych wymiarów Ci nie pomogę raczej. Nie doczytałem po prostu. Mój błąd

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 7 maja 2012, o 13:51

Adaptacja powyższego rozumowania na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\):

Znajdź wzór \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarowej hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ p+\textup{lin}\!\left(\overrightarrow{AC}\right)^\perp}\) (prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ A+\textup{lin}\!\left(\overrightarrow{AB}\right)}\)) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B}\).
Znajdź układ równań określający prostą \(\displaystyle{ A+\textup{lin}\!\left(\overrightarrow{AB}\right)}\).
Rozwiązaniem układu równań złożonego z układu powyższego i równania hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ p+\textup{lin}\!\left(\overrightarrow{AC}\right)^\perp}\) będzie szukany punkt \(\displaystyle{ D}\).