Wyskość czworościanu znając jego wierzchołki

[jcubic]

Mam czworościan zdefiniowany za pomocą 4 punktów \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, x \in R^n}\) i potrzebuje obliczyć jego wysokość.

AU

QJRiV.png (12.32 KiB) Przejrzano 44 razy

[Jacek_Karwatka]

\(\displaystyle{ \frac{\vec{a _{3}x } \cdot (\vec{a _{3} a_{2} } \times \vec{a _{3} a_{1} })}{\left| \vec{a _{3} a_{2} } \times \vec{a _{3} a_{1} } \right|}}\)

[jcubic]

To jest jakiś dany wzór czy skądś wyprowadzony? Chciałbym to lepiej zrozumieć.

[Jacek_Karwatka]

tworzę iloczyn wektorowy wektorów

\(\displaystyle{ \vec{a _{3}a _{2} } \ i \ \vec{a _{3}a _{1}}}\)

\(\displaystyle{ \vec{p}= \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}\)

Taki wektor jest prostopadły do krawędzi podstawy
teraz dokonuję normalizacji

\(\displaystyle{ \vec{e}= \frac{ \vec{p} }{\left| p\right| }= \frac{\vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}{\left| \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}\right| }}\)

mam wektor jednostkowy który jest prostopadły do podstawy

mnożę skalanie przez krawędź która zawiera wysokość i mam rzut na wektor jednostkowy wysokości czyli wysokość.
\(\displaystyle{ h= \vec{a _{3}x } \cdot \vec{e}= \vec{a _{3}x } \cdot \frac{\vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}{\left| \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}\right| }}\)

ps
korzystam z iloczynu wektorowego który jest zdefiniowany w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)