Mam czworościan zdefiniowany za pomocą 4 punktów \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, x \in R^n}\) i potrzebuje obliczyć jego wysokość.
Wyskość czworościanu znając jego wierzchołki
-
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Wyskość czworościanu znając jego wierzchołki
\(\displaystyle{ \frac{\vec{a _{3}x } \cdot (\vec{a _{3} a_{2} } \times \vec{a _{3} a_{1} })}{\left| \vec{a _{3} a_{2} } \times \vec{a _{3} a_{1} } \right|}}\)
- jcubic
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 20 gru 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świętokrzyskie
- Podziękował: 11 razy
Wyskość czworościanu znając jego wierzchołki
To jest jakiś dany wzór czy skądś wyprowadzony? Chciałbym to lepiej zrozumieć.
-
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Wyskość czworościanu znając jego wierzchołki
tworzę iloczyn wektorowy wektorów
\(\displaystyle{ \vec{a _{3}a _{2} } \ i \ \vec{a _{3}a _{1}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{p}= \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}\)
Taki wektor jest prostopadły do krawędzi podstawy
teraz dokonuję normalizacji
\(\displaystyle{ \vec{e}= \frac{ \vec{p} }{\left| p\right| }= \frac{\vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}{\left| \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}\right| }}\)
mam wektor jednostkowy który jest prostopadły do podstawy
mnożę skalanie przez krawędź która zawiera wysokość i mam rzut na wektor jednostkowy wysokości czyli wysokość.
\(\displaystyle{ h= \vec{a _{3}x } \cdot \vec{e}= \vec{a _{3}x } \cdot \frac{\vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}{\left| \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}\right| }}\)
ps
korzystam z iloczynu wektorowego który jest zdefiniowany w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a _{3}a _{2} } \ i \ \vec{a _{3}a _{1}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{p}= \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}\)
Taki wektor jest prostopadły do krawędzi podstawy
teraz dokonuję normalizacji
\(\displaystyle{ \vec{e}= \frac{ \vec{p} }{\left| p\right| }= \frac{\vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}{\left| \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}\right| }}\)
mam wektor jednostkowy który jest prostopadły do podstawy
mnożę skalanie przez krawędź która zawiera wysokość i mam rzut na wektor jednostkowy wysokości czyli wysokość.
\(\displaystyle{ h= \vec{a _{3}x } \cdot \vec{e}= \vec{a _{3}x } \cdot \frac{\vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}}{\left| \vec{a _{3}a _{2} } \times \vec{a _{3}a _{1}}\right| }}\)
ps
korzystam z iloczynu wektorowego który jest zdefiniowany w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)