krzywe stożkowe

[freevolity]

Określić typ krzywej stożkowej opisanej równaniem:
\(\displaystyle{ x^2+4xy+4y^2+x+2y=0}\)

Znam wzory na wszystkie krzywe stożkowe, ale tego równania nie potrafię sprowadzić do żadnego z nich
Zacinam się w momencie:
\(\displaystyle{ (x+2y)(x+2y+1)=0}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ (x+2y)(x+2y+1)=0\\
x+2y=0\quad\vee\quad x+2y+1=0\\}\)

czyli mamy dwie równoległe proste

[freevolity]

Z tym że proste równoległe nie są krzywymi stożkowymi...

[octahedron]

Innego rozwiązania nie ma. To taki przypadek krzywej zdegenerowanej.

[freevolity]

Dzięki A mógłbyś pomóc jeszcze z tym? Polecenie to samo, ale tego już zupełnie nie wiem jak ruszyć...
\(\displaystyle{ 5x^2+xy+5y^2-16x-16y-16=0}\)

Kombinuje coś ze wzorów skróconego mnożenia ale bez rezultatów

[octahedron]

Jeśli mamy równanie postaci \(\displaystyle{ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0}\), liczymy wyznaczniki:

\(\displaystyle{ d_1=\begin{vmatrix}A&\frac{B}{2}&\frac{D}{2}\\\frac{B}{2}&C&\frac{E}{2}\\\frac{D}{2}&\frac{E}{2}&F\end{vmatrix}\\\\
d_2=\begin{vmatrix}A&\frac{B}{2}\\\frac{B}{2}&C\end{vmatrix}\\\\}\)

\(\displaystyle{ d_1=0}\) krzywa zdegenerowana
\(\displaystyle{ d_1\ne 0}\):
\(\displaystyle{ d_2>0}\) elipsa
\(\displaystyle{ d_2>0,\,A=C,B=0}\) okrąg
\(\displaystyle{ d_2=0}\) parabola
\(\displaystyle{ d_2<0}\) hiperbola

No i tutaj mamy elipsę

[freevolity]

WOW nie wiedziałam, że tak można... To wiele wyjaśnia. Dziękuję!