Patrz przykładowy rysunek:
Kod: Zaznacz cały
http://wstaw.org/w/15Gm/Wykaż, że dwa wektory są zwrócone zwrotami w kierunku punktu
Wykaż, że dwa wektory są zwrócone zwrotami w kierunku punktu
Mam dane współrzędne \(\displaystyle{ \left( x_{A_1}, y_{A_1} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( x_{B_1}, y_{B_1} \right)}\) co oznaczają następująco początek i koniec pierwszego wektora w układzie współrzędnych oraz \(\displaystyle{ \left( x_{A_2}, y_{A_2} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( x_{B_2}, y_{B_2} \right)}\) które oznaczają początek i koniec drugiego wektora. Dwa wektory nie są do siebie równoległe. Z funkcji liniowej wyznaczam punkt ich przecięcia. I teraz mam wykazać, że dwa wektory są skierowane w kierunku punktu ich przecięcia zwrotami. Tylko, że tych przykładów jest 3 np. oba wektory zwrócone przeciwnie do punktu ich przecięcia, jeden zwrócony przeciwnie i oba zwrócone w kierunku punktu. I teraz jak to wykazać w jakim stosunku są wektory względem punktu ich przecięcia ??
Patrz przykładowy rysunek:
Patrz przykładowy rysunek:
Ostatnio zmieniony 5 maja 2012, o 13:34 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Wykaż, że dwa wektory są zwrócone zwrotami w kierunku punktu
Jeśli punkt przecięcia oznaczymy jako
\(\displaystyle{ (x _{p}, y _{p} )}\)
to z założenia mamy
\(\displaystyle{ (x _{p}, y _{p} )-(x _{A}, y _{A} ) = \lambda ((x _{B}, y _{B}) - (x _{A}, y _{A} ))}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ \lambda \ge 0}\)
to punkt jest po dodatniej stronie zwrotu wektora
\(\displaystyle{ \lambda}\) określa ile razy dalej niż koniec wektora, leży punkt przecięcia, licząc od punktu początku wektora.
\(\displaystyle{ (x _{p}, y _{p} )}\)
to z założenia mamy
\(\displaystyle{ (x _{p}, y _{p} )-(x _{A}, y _{A} ) = \lambda ((x _{B}, y _{B}) - (x _{A}, y _{A} ))}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ \lambda \ge 0}\)
to punkt jest po dodatniej stronie zwrotu wektora
\(\displaystyle{ \lambda}\) określa ile razy dalej niż koniec wektora, leży punkt przecięcia, licząc od punktu początku wektora.
Wykaż, że dwa wektory są zwrócone zwrotami w kierunku punktu
Ale przecież ja źle to robię. Dzięki twojej sugestii wpadłem na pomysł. Mam podane początek i koniec wektorów i punkt ich przecięcia. Teraz wystarczy, że wykonam następujące czynności. Oblicze pierw odległość od \(\displaystyle{ \left( x_{A}, y_{A} \right) do (x _{p}, y _{p} )}\) dla początku wektora a następnie postąpię identycznie dla końca wektora. Porównam odległości. Czyli pierwsza musi być mniejsza od drugiej. Tylko jest jeden problem. Gdy punkt ich przecięcia leży idealnie na wektorze. Wtedy wyjdą mi identyczne wyniki. Jakieś sugestie?? Jeśli będę obliczał lambdę to otrzymam dwa wyniki a nie jeden. przecież odejmuję \(\displaystyle{ ( x ) od ( x ) i ( y ) od ( y )}\) więc jak mogę otrzymać lambdę np. większą od zera??
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Wykaż, że dwa wektory są zwrócone zwrotami w kierunku punktu
Pytanie co to dokładnie znaczy "I teraz mam wykazać, że dwa wektory są skierowane w kierunku punktu ich przecięcia zwrotami" jeśli np same wektory przecinaj się. W szczególności jeśli odległości od początku i końca wektora są równe punkt leży pośrodku wektora. Według manie w tym wypadku punkt przecięcia leży po dodatniej stronie zwrotu wektora.
Każdy punkt (także punkt przecięcia) na przedłużeniu wektora AB możne być opisany równaniem:
\(\displaystyle{ (x,y)=(x _{A},y _{A}) + \lambda\left( (x _{B},y _{B})-(x _{A},y _{A})\right)}\)
dla
\(\displaystyle{ \lambda > 1}\)
punkt leży za końcem wektora po dodatniej stronie zwrotu
dla
\(\displaystyle{ 0\le \lambda \le 1}\)
punkt leży na wektorze, według mnie ciągle po dodatniej stronie zwrotu
dla
\(\displaystyle{ \lambda < 0}\)
punkt przed wektorem po stronie przeciwnej niż zwrot
jedna uwaga jeśli punkt rzeczywiści leży na przedłużeniu wektora to wyniki dla \(\displaystyle{ \lambda}\) będą takie same jeśli policzy się ją z x lub y (ewentualnie w jednym przypadku będzie nieoznaczoność)
Nie ma znaczenia z czego liczymy. Jeśli wyniki są różne to znaczy ze punkt nie leży na przedłużeniu wektora i gdzieś jest błąd.
Każdy punkt (także punkt przecięcia) na przedłużeniu wektora AB możne być opisany równaniem:
\(\displaystyle{ (x,y)=(x _{A},y _{A}) + \lambda\left( (x _{B},y _{B})-(x _{A},y _{A})\right)}\)
dla
\(\displaystyle{ \lambda > 1}\)
punkt leży za końcem wektora po dodatniej stronie zwrotu
dla
\(\displaystyle{ 0\le \lambda \le 1}\)
punkt leży na wektorze, według mnie ciągle po dodatniej stronie zwrotu
dla
\(\displaystyle{ \lambda < 0}\)
punkt przed wektorem po stronie przeciwnej niż zwrot
jedna uwaga jeśli punkt rzeczywiści leży na przedłużeniu wektora to wyniki dla \(\displaystyle{ \lambda}\) będą takie same jeśli policzy się ją z x lub y (ewentualnie w jednym przypadku będzie nieoznaczoność)
Nie ma znaczenia z czego liczymy. Jeśli wyniki są różne to znaczy ze punkt nie leży na przedłużeniu wektora i gdzieś jest błąd.