Znajadź parametr m

[patryk6]

Dla jakich wartości parametru m (m in R) okręgi opisane równaniami:
\(\displaystyle{ o_{1}:(x+1) ^{2} + (y-m) ^{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ o_{2}:(x+m) ^{2} + (y-2) ^{2} = 1}\)
mają dokładnie jeden pkt wspólny.

Dochodzę do momentu:

\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=-4}\)
\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=4}\)

i co dalej... Bardzo proszę o zrobienie całego zadania, jesli mozna prosić

[major37]

Układ równań powinien mieć tylko jedno rozwiązanie więc Delta jest równa zero. Nie wiem skąd Ci to wyszło. Jak chcesz to przedstaw swoje obliczenia.

[patryk6]

\(\displaystyle{ S _{1}=(-1,m) \wedge r _{1}=2}\)
\(\displaystyle{ S _{2}=(-m,2) \wedge r _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \left| S _{1} S _{2} \right|= \sqrt{(-m+1) ^{2}+(2-m) ^{2}}= \sqrt{2m ^{2}-6m+5}}\)

Z zależności wzajemnego połążenia dwóch okręgów:
1) okręgi rozłączne styczne zewnętrznie
2) okręgi rozłączne styczne wewnętrzne

Ad. 1.
\(\displaystyle{ \left| S _{1} S _{2} \right|=\left|r _{1}-r _{2} \right| \Leftrightarrow \sqrt{2m ^{2}-6m+5}=1}\)
\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=-4}\)

Ad.2
\(\displaystyle{ \left| S _{1} S _{2} \right|=\left|r _{1}-r _{2} \right| \Leftrightarrow \sqrt{2m ^{2}-6m+5}=3}\)
\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=4}\)

dalej nie wiem, ale wiem to, że nie mozna nam rozwiązywać deltą

[major37]

Skoro styczne to nie rozłączne. Styczność wewnętrzna jest ok natomiast zewnętrzna \(\displaystyle{ |S _{1}S _{2}|=r _{1}+r _{2}}\) ale widzę że obliczenia dobre Dalej rozwiąż równania kwadratowe. Policz Deltę i pierwiastki-- 4 maja 2012, o 22:24 --I masz odwrotnie napisane. Zamień obliczenia punktami patrząc na punkty. Mam nadzieję że wiesz o co chodzi

[patryk6]

Niestety, ale delta nie możemy tego obliczać, a więc prosze o sczególneijsze obliczenia

[major37]

Zrobimy to inaczej żeby było wszystko jasne. Rozpisz sobie pierwszy okrąg z wzorów skróconego mnożenia i to samo zrób z drugim. Wyznacz sobie z pierwszego \(\displaystyle{ y}\) i wstaw do drugiego. Otrzymasz wtedy równanie z jedną niewiadomą iks i parametrem. I to równanie ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Ale to co Ty napisałeś jest wygodniejsze i miej liczenia. To jak chcesz swoje bez Delty to z wzorów Vieta.

[patryk6]

Pomoże ktoś?

[anna_]

Ad. 1.
\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=-4\ /:2}\)
\(\displaystyle{ m^2-3m+2=0}\)

Jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ m=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ m^2-3m+2=(m-1)(m-2)=0}\)
\(\displaystyle{ m=1}\) lub \(\displaystyle{ m=2}\)

Ad.2
\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=4}\)
ten ma bardzo brzydkie pierwiastki i bez delty raczej się go nie policzy.

[mario54]

Można obliczyć każde równanie kwadratowe bez delty stosując sztuczkę z niepełnymi wzorami skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ 2m ^{2}-6m=4}\)

Możemy dla łatwości podzielić na 2
\(\displaystyle{ m ^{2}-3m=2}\)

Z dwóch pierwszych wyrazów tworzymy niepełny wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a-b)^2}\)
jest to prawie tyle \(\displaystyle{ \left( m- \frac{3}{2}\right) ^2}\) jednak jak to rozwiniemy to otrzymamy \(\displaystyle{ b^2}\) jeszcze czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ \frac{9}{4}}\) zatem odejmiemy i mam lewą stronę zapisaną jako
\(\displaystyle{ \left( m- \frac{3}{2}\right) ^2 - \frac{9}{4}}\) czyli równanie
\(\displaystyle{ \left( m- \frac{3}{2}\right) ^2 - \frac{9}{4}=2 \\
\left( m- \frac{3}{2}\right) ^2 = \frac{17}{4}}\)
i pierwiastkujemy stronami
\(\displaystyle{ m- \frac{3}{2}= \frac{ \sqrt{17}}{2} \vee m- \frac{3}{2} = - \frac{ \sqrt{17}}{2} \\
m= \frac{3+ \sqrt{17} }{2} \vee m= \frac{3- \sqrt{17} }{2}}\)

Kiedyś nam to nauczyciel pokazał jako ciekawostkę.