Znajdź wartośc parametru m dla okręgów przecinających się

[patryk6]

Dla jakich wartości parametru m (m należy do R) okręgi opisane równaniami:
\(\displaystyle{ o_{1}:(x+5)^{2}+(y+m)^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ o_{2}:(x-2m)^{2}+(y+m)^{2}=9}\)
przecinają się w dwóch punktach?-- 4 maja 2012, o 19:58 --

[mattrym]

Zauważ, że okręgi mają dwa punkty przecięcia wówczas, gdy odległość między ich środkami jest mniejsza niż suma ich promieni, ale większa niż wartość (bezwzględna) różnicy ich promieni.

[Jacek_Karwatka]

promienie okręgów są odpowiednio:

\(\displaystyle{ r _{1}= \sqrt{16}=4}\)

\(\displaystyle{ r _{2}= \sqrt{9}=3}\)

okręgi przetną się jeśli odległość miedzy środkami będzie mniejsza niż suma promieni:

\(\displaystyle{ (x _{1}-x _{2}) ^{2}+(y _{1}-y _{2}) ^{2} \le (r _{1}+r _{2}) ^{2}}\)

tutaj

\(\displaystyle{ (-5-2m) ^{2}+(-m-(-m)) ^{2} \le (4+3) ^{2}}\)

wystarczy rozwiązać nierówność
mamy:

\(\displaystyle{ (25 + 20m + 4m ^{2}) + (m ^{2} - 2mm +m ^{2}) \le 49}\)

\(\displaystyle{ 4m ^{2} + 20m - 24 \le 0}\)

\(\displaystyle{ m ^{2} + 5m - 6 \le 0}\)

\(\displaystyle{ m _{1} =-5- \frac{7}{2} , m _{2} =-5+ \frac{7}{2}}\)

\(\displaystyle{ m\in<-5- \frac{7}{2} , -5+ \frac{7}{2}>}\)

jest to zgodne z inną metodą rozwiązania:
Zauważ że współrzędne y-kowe środków okręgów są takie same (-m).
\(\displaystyle{ y _{1}=y _{2}=-m}\)
Różnica może pochodź tylko z x.
W pieszym mamy:
\(\displaystyle{ x _{1}=-5}\)
w drugim:
\(\displaystyle{ x _{2}=2m}\)
mamy więc
\(\displaystyle{ l=\left|x _{1}-x _{2} \right| = \left|-5-2m \right| \le 7}\)
co da ten sam wynik

[patryk6]

Tak robiłem i doszedłem do momentu:
\(\displaystyle{ 20m+4m ^{2} \le 24}\)

i wynik wychodzi

\(\displaystyle{ m \le 6 \wedge m \le 1}\)

z drugiego równanie:

\(\displaystyle{ m < -6 \wedge m < -1}\)

a wyniki powinny być:
\(\displaystyle{ m < -6 \wedge m < 1 \wedge m < -3 \wedge m < -2}\)