wyznaczyć prostą

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
jowita232
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 31 mar 2012, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 5 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: jowita232 »

Przez punkt \(\displaystyle{ A(-2,2,0)}\) poprowadzić prostą przecinającą prostą

\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{1}= \frac{y+3}{-1}= \frac{z-2}{-2}}\) i tworzącą z prostą

\(\displaystyle{ n : \begin{cases} x-1=0\\z+1=0\end{cases}}\)

kąt \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Bardzo proszę o szybką odpowiedz bo kompletnie nie wiem jak za to sie zabrac
Ostatnio zmieniony 4 maja 2012, o 19:55 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: Jacek_Karwatka »

Proponuję najpierw wyznaczyć równanie parametryczne prostej l
Potem równie prostej przechodzącej przez dwa punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ l(t)}\) gdzie t jet parametrem określającym położenie na prostej l.
Mamy wiec równie wiązki prostych.
Korzystając z iloczynu skalarnego można znaleźć taką wartość t dla której dana prosta w wiązce i prosta n tworzą dany kąt.
jowita232
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 31 mar 2012, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 5 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: jowita232 »

a czy mógłby pan pokazać krok po kroku jak to obliczyć bo nie kojarzę żebyśmy mieli na zajęciach równanie wiązki prostych będę bardzo wdzięczna.
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: Jacek_Karwatka »

Równanie parametryczne prostej l:

\(\displaystyle{ l _{0}=[1,-3,-2]}\)

kierunek prostej l:

\(\displaystyle{ [1 -1,-2]}\)

równie parametryczne prostej:

\(\displaystyle{ p(t)=l _{0}+t*l = [1+t, -3-t, 2-2t]}\)

równanie prostej przechodzącej przez punkt A i p(t)

\(\displaystyle{ \frac{x-A _{x} }{p(t) _{x}-A _{x} }=\frac{y-A _{y} }{p(t) _{y}-A _{y} }=\frac{z-A _{z} }{p(t) _{z}-A _{z} }}\)

tutaj:

\(\displaystyle{ \frac{x-(-2) }{1+t-(-2) }=\frac{y-2 }{-3-t-2 }=\frac{z-0 }{2-2t-0 }}\)

\(\displaystyle{ \frac{x2 }{3+t }=\frac{y-2 }{-5-t }=\frac{z }{2-2t }}\)

mamy równanie rodziny prostych
rodzina prostych linii która przechodzi prze dany punkt nazywana jest wiązką

kierunek prostej n:
\(\displaystyle{ [1,0,0] \times [0,0,1]=[0,-1,0]}\)

jeśli prosta z naszej rodziny i prosta n tworzą kąt 60 stopni to taki kat tworzą ich wektory kierunkowe:

\(\displaystyle{ n=[0, -1, 0]}\)
\(\displaystyle{ p=[3+t, -5-t, 2-2t ]}\)
z własności iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \left| n \cdot p\right|=\left| n\right|\left| p\right|cos(60)}\)

\(\displaystyle{ 1 \sqrt{(3+t) ^{2} +(5+t) ^{2} + (2-2t)^{2} }=(5+t)cos(60)}\)

dalej rozwiązać równanie z t i postawić do równania rodziny prostych.
sprawdź rachunki mogłem gdzieś się pomylić
maa nadzieję ze idea jest jasna
jowita232
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 31 mar 2012, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 5 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: jowita232 »

wszystko jasne oprócz :
"kierunek prostej n:
\(\displaystyle{ [1,0,0] \times [0,0,1]=[0,-1,0]}\)"
nie wiem skąd te dwa wektory?
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: Jacek_Karwatka »

prosta n jest zadana jako przecięcie dwóch płaszczyzn:
\(\displaystyle{ n: \begin{cases} x-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
wektor ortogonalny do pierwszej płaszczyzny to
\(\displaystyle{ w _{1}=[1,0,0]}\) (tylko x występuje w równaniu płaszczyzny
wektor ortogonalny do drugiej płaszczyzny to
\(\displaystyle{ w _{2}=[0,0,1]}\) (tylko z występuje w równaniu płaszczyzny
prosta wyznaczona przez przecięcia tych płaszczyzn jest prostopadła do obu tych wektorów.
aby znaleźć jej kierunek (z dokładnością do znaku) obliczam iloczyn wektorowy
\(\displaystyle{ [1, 0,0] \times [0,0,1]=[0,-1,0]}\)
jowita232
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 31 mar 2012, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 5 razy

wyznaczyć prostą

Post autor: jowita232 »

ok już wszystko rozumiem. dziękuje ślicznie za pomoc
ODPOWIEDZ