Wyznacz równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A = \left( -4,6\right)}\) , która wraz z osiami układu
współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ D: x,y \neq 0 \\
\\ \\
P = \frac{ah}{2} = 2 \\
ah = xy = 4 \\
y = \frac{4}{x}}\)
Wykres...
I niby jak ja mam ograniczyć funkcję, która ciągnie się w nieskończoność...?
EDIT:
Ta sama sytuacja w III i IV ćwiartce.. W II jest to niemożliwe.
Prosta ograniczająca trójkąt
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Prosta ograniczająca trójkąt
Dziwnie do tego podchodzisz: niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Ponieważ ta prosta ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (4,6)}\), to stąd mamy \(\displaystyle{ 9=4a+b}\) skąd \(\displaystyle{ b=9-4a}\) i ta prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+9-4a}\). Możemy wykluczyć sytuację, kiedy ta prosta będzie pozioma (\(\displaystyle{ a\neq0}\)) oraz gdy będzie przechodzić przez początek układu współrzędnych (\(\displaystyle{ a\neq\frac94}\)) - bo wtedy nie było by trójkąta.
Punkty przecięcia się osiami układu współrzędnych to:
dla osi \(\displaystyle{ Oy}\) \(\displaystyle{ (0,9-4a)}\), dla osi \(\displaystyle{ Ox}\) dostaniemy punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{4a-9}{a},0\right)}\).
Pole trójkąta wyznaczonego przez te punkty oraz początek układu współrzędnych to
\(\displaystyle{ P=\frac12\cdot|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
i z warunków zadania mamy równanie
\(\displaystyle{ 2=\frac12\cdot|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=\left|\frac{(4a-9)^2}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=\frac{(4a-9)^2}{a}\vee -4=\frac{(4a-9)^2}{a}}\)
\(\displaystyle{ 4a=16a^2-72a+81\vee -4a=16a^2-72a+81}\)
\(\displaystyle{ 16a^2-76a+81=0\vee 16a^2-68a+81=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_1=5776-5184=592\vee \Delta_2=4624-5184<0}\)
Zostaje tylko pierwsza możliwość
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{592}=4\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ a_1=\frac{76-4\sqrt{37}}{32}=\frac{19-\sqrt{37}}{8}\vee a_2=\frac{19+\sqrt{37}}{8}}\)
czyli są dwie takie proste (oczywiście podstawiasz za \(\displaystyle{ a}\) do równania prostej).
PS. Sprawdź rachunki, bo liczyłem w większości w pamięci.
Punkty przecięcia się osiami układu współrzędnych to:
dla osi \(\displaystyle{ Oy}\) \(\displaystyle{ (0,9-4a)}\), dla osi \(\displaystyle{ Ox}\) dostaniemy punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{4a-9}{a},0\right)}\).
Pole trójkąta wyznaczonego przez te punkty oraz początek układu współrzędnych to
\(\displaystyle{ P=\frac12\cdot|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
i z warunków zadania mamy równanie
\(\displaystyle{ 2=\frac12\cdot|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=\left|\frac{(4a-9)^2}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=\frac{(4a-9)^2}{a}\vee -4=\frac{(4a-9)^2}{a}}\)
\(\displaystyle{ 4a=16a^2-72a+81\vee -4a=16a^2-72a+81}\)
\(\displaystyle{ 16a^2-76a+81=0\vee 16a^2-68a+81=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_1=5776-5184=592\vee \Delta_2=4624-5184<0}\)
Zostaje tylko pierwsza możliwość
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{592}=4\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ a_1=\frac{76-4\sqrt{37}}{32}=\frac{19-\sqrt{37}}{8}\vee a_2=\frac{19+\sqrt{37}}{8}}\)
czyli są dwie takie proste (oczywiście podstawiasz za \(\displaystyle{ a}\) do równania prostej).
PS. Sprawdź rachunki, bo liczyłem w większości w pamięci.
-
- Użytkownik
- Posty: 221
- Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dev/null
- Podziękował: 65 razy
Prosta ograniczająca trójkąt
Ale po co mi to piszesz, skoro ja inaczej to rozwiązuje?
Ogranicz mi w ten sposób trójkąt o wierzchołkach:
\(\displaystyle{ S = \left( 400, \frac{1}{100}\right) \\
T = \left( 0,0 \right) \\
U = \left( 400,0 \right)}\)
...
Bo pole takowego to też 2...
Ogranicz mi w ten sposób trójkąt o wierzchołkach:
\(\displaystyle{ S = \left( 400, \frac{1}{100}\right) \\
T = \left( 0,0 \right) \\
U = \left( 400,0 \right)}\)
...
Bo pole takowego to też 2...
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Prosta ograniczająca trójkąt
Rany kota, ta prosta ma przechodzić przez podany punkt...
Narysuj układ, zaznacz punkt, poprowadź przez niego prostą i teraz próbuj "kręcić" tą prostą (cały czas ma przechodzić przez ten punkt!), zobacz jakie trójkąty z osiami będzie wyznaczać ta prosta.
Ty masz wyznaczyć równanie takiej prostej spośród tych możliwych, przechodzących przez ten punkt, żeby pole tego trójkąta było równe 2.
Narysuj układ, zaznacz punkt, poprowadź przez niego prostą i teraz próbuj "kręcić" tą prostą (cały czas ma przechodzić przez ten punkt!), zobacz jakie trójkąty z osiami będzie wyznaczać ta prosta.
Ty masz wyznaczyć równanie takiej prostej spośród tych możliwych, przechodzących przez ten punkt, żeby pole tego trójkąta było równe 2.