Prosta ograniczająca trójkąt

[fidget]

Wyznacz równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A = \left( -4,6\right)}\) , która wraz z osiami układu
współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ D: x,y \neq 0 \\
\\ \\
P = \frac{ah}{2} = 2 \\
ah = xy = 4 \\
y = \frac{4}{x}}\)

Wykres...


I niby jak ja mam ograniczyć funkcję, która ciągnie się w nieskończoność...?


EDIT:
Ta sama sytuacja w III i IV ćwiartce.. W II jest to niemożliwe.

[chris_f]

Dziwnie do tego podchodzisz: niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Ponieważ ta prosta ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (4,6)}\), to stąd mamy \(\displaystyle{ 9=4a+b}\) skąd \(\displaystyle{ b=9-4a}\) i ta prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+9-4a}\). Możemy wykluczyć sytuację, kiedy ta prosta będzie pozioma (\(\displaystyle{ a\neq0}\)) oraz gdy będzie przechodzić przez początek układu współrzędnych (\(\displaystyle{ a\neq\frac94}\)) - bo wtedy nie było by trójkąta.
Punkty przecięcia się osiami układu współrzędnych to:
dla osi \(\displaystyle{ Oy}\) \(\displaystyle{ (0,9-4a)}\), dla osi \(\displaystyle{ Ox}\) dostaniemy punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{4a-9}{a},0\right)}\).
Pole trójkąta wyznaczonego przez te punkty oraz początek układu współrzędnych to
\(\displaystyle{ P=\frac12\cdot|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
i z warunków zadania mamy równanie
\(\displaystyle{ 2=\frac12\cdot|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=|9-4a|\cdot\left|\frac{4a-9}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=\left|\frac{(4a-9)^2}{a}\right|}\)
\(\displaystyle{ 4=\frac{(4a-9)^2}{a}\vee -4=\frac{(4a-9)^2}{a}}\)
\(\displaystyle{ 4a=16a^2-72a+81\vee -4a=16a^2-72a+81}\)
\(\displaystyle{ 16a^2-76a+81=0\vee 16a^2-68a+81=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_1=5776-5184=592\vee \Delta_2=4624-5184<0}\)
Zostaje tylko pierwsza możliwość
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{592}=4\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ a_1=\frac{76-4\sqrt{37}}{32}=\frac{19-\sqrt{37}}{8}\vee a_2=\frac{19+\sqrt{37}}{8}}\)
czyli są dwie takie proste (oczywiście podstawiasz za \(\displaystyle{ a}\) do równania prostej).
PS. Sprawdź rachunki, bo liczyłem w większości w pamięci.

[fidget]

Ale po co mi to piszesz, skoro ja inaczej to rozwiązuje?

Ogranicz mi w ten sposób trójkąt o wierzchołkach:
\(\displaystyle{ S = \left( 400, \frac{1}{100}\right) \\
T = \left( 0,0 \right) \\
U = \left( 400,0 \right)}\)


...
Bo pole takowego to też 2...

[chris_f]

Rany kota, ta prosta ma przechodzić przez podany punkt...
Narysuj układ, zaznacz punkt, poprowadź przez niego prostą i teraz próbuj "kręcić" tą prostą (cały czas ma przechodzić przez ten punkt!), zobacz jakie trójkąty z osiami będzie wyznaczać ta prosta.

Ty masz wyznaczyć równanie takiej prostej spośród tych możliwych, przechodzących przez ten punkt, żeby pole tego trójkąta było równe 2.