Wyznaczenie współrzędnej pewnego punktu i dalsze obliczenia.

[Prev]

Otóż. Mam problem z wykonaniem tego na pozór prostego zadania. Niestety - mam w szkole spore braki, bo przez dłuższy czas mnie nie było i staram się nadrabiać, ale do tego potrzebuje jakiegoś naprowadzenia.
Oto zadanie:
Na prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x}\) wyznacz punkty \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p^{'}}\) odległe o \(\displaystyle{ 4}\) od punktu \(\displaystyle{ R=(4,5)}\).
1. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ R}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=4}\)
2. Wyznacz punkty przecięcia się okręgu z prostą \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x}\), czyli rozwiąż układ równań złożony z równania okręgu i prostej.

Mam zrobiony rysunek pomocniczy do owego zadania, na którym za pomocą cyrkla zaznaczyłem punkty \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p'}\). Ale nie wiem jak zabrać się za wyznaczenie wzoru tego okręgu dysponując tak małą ilością danych. Wydaje mi się, że muszę znaleźć współrzędne punktu \(\displaystyle{ p}\) lub \(\displaystyle{ p'}\) a wtedy zastosować jedynie prosty wzór na długość odcinka, by zdobyć długość r ale niestety nie wiem skąd wyciągnąć te współrzędne i co zrobić dalej by mieć już to równanie okręgu i ruszyć do kolejnego podpunktu zadania.

Proszę o pomoc, gdyż jest to dla mnie bardzo ważne.

[major37]

czyli punkt p ma współrzędne \(\displaystyle{ (x, \frac{1}{2}x)}\) Teraz wzór na odległość dwóch punktów. I jest równe 4 otrzymasz równanie kwadratowe. Zadanie drugie. Przypomnij sobie albo poszukaj wzoru na równanie okręgu. Jak napiszesz równanie okręgu to wyznaczysz punkty przecięcia okręgu z prostą przez układ równań

[Prev]

właściwie to teraz doznałem olśnienia. Właściwie to w ogóle nie potrzebuje tutaj równania punku p ani p'. Wystarczy mi wiadomość, że odległość tych punktów od punktu R wynosi 4 i to jest mój promień, zatem mam wszystkie dane do stworzenia równania tego okręgu, który wyglądał będzie tak:
\(\displaystyle{ (x-4)^{2}+(y-5)^{2}=4^{2}}\)

I teraz tylko rozwiązać układ równań złożony z tego wzoru oraz \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x}\) i obliczyć x1 i x2 i wszystko.

Mam rację, czy się mylę?

-- 22 kwi 2012, o 14:34 --

Odświeżam. Proszę o pomoc

[major37]

Równanie okręgu dobrze. Ale miałeś jeszcze zrobić pierwsze zadanie

[Prev]

a więc jak określić współrzędne p i p'? Chodzi mi o wytłumaczenie, bym wiedział

[loitzl9006]

Do równania okręgu, które ułożyłeś, czyli

\(\displaystyle{ (x-4)^{2}+(y-5)^{2}=4^{2}}\)

należy zamiast \(\displaystyle{ y}\) wstawić \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x}\)

i wtedy dostajesz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) - będą dwa rozwiązania. Te rozwiązania będą oznaczać iksowe współrzędne szukanych punktów ; no a jak sobie to już policzysz, to igrekowe znajdziesz bez problemu .

[Prev]

Okey. Zadanie już skończyłem. Dziękuje za pomoc