Wyznacz równanie prostej stycznej do okręgu

[matematykapl]

Wyznacz równanie prostej stycznej do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} - 8x + y ^{2} + 6y = 0}\) nachylonej do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 135 ^{0}}\)

Nie będę wszystkiego wypisywał, wyszedł mi taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - 8x + y ^{2} + 6y = 0 \\ y = x - 7 \end{cases}}\)

Wychodzi: \(\displaystyle{ 2x ^{2} - 16x + 7 = 0}\) Czyli \(\displaystyle{ x _{1} = \frac{8 - 5 \sqrt{2} }{2}, x _{2} = \frac{8 + 5 \sqrt{2} }{2}}\) - to tak wyjdzie? Dalej nie liczyłem, bo nie wiem, czy dobrze?

[piasek101]

Prosta powinna mieć współczynnik kierunkowy ujemny - bo masz wziąć tangensa tych 135.

[matematykapl]

Czyli: \(\displaystyle{ y = -x - 7}\)? I wtedy podstawić pod układ równań?

[piasek101]

A skąd masz (-7) ?

[matematykapl]

Wyznaczyłem środek, mam styczną: \(\displaystyle{ y = -x + b}\), prosta prostopadła: \(\displaystyle{ y = x + b}\), przechodząca przez S: \(\displaystyle{ -3 = 4 + b, b = -7}\), stąd: \(\displaystyle{ y = x - 7}\). Co ja tutaj namieszałem?

[piasek101]

Rób tak :
- odległość szukanej \(\displaystyle{ y=-x+b}\) od środka ma być równa promieniowi okręgu.

[matematykapl]

Czyli jak? \(\displaystyle{ y = 5}\)?

[piasek101]

Znasz współrzędne środka i ze wzoru na odległość punktu od prostej (tej z (b)) wyznaczysz brakujące - bo odległość (jak pisałem) ma być równa promieniowi.

[matematykapl]

Czyli mam liczyć z tego wzoru: \(\displaystyle{ d = \frac{\left|Ax _{0} + By _{0} + C \right| }{ \sqrt{A ^{2} + B ^{2} } }}\) - i co mi to da? Nie rozumiem, pogubiłem się w tym.

[piasek101]

Przyrównujesz (do znanego) promienia - jedyną niewiadomą będzie (b).

Jeśli prosta jest odległa od środka okręgu o długość promienia to jest styczną do niego.