obrót punktu o kąt

[prawyakapit]

Jeżeli \(\displaystyle{ \varphi_{\alpha}(x,y) ; (x,y) \in R^{2}}\)
oznacza obrót o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) to jak pokazać, że \(\displaystyle{ (\varphi_{\alpha})^{-1}=\varphi_{-\alpha}}\) ?

czy można napisać , że \(\displaystyle{ (\varphi_{\alpha})^{-1}=-(\varphi_{\alpha})}\)

i dalej udowadniać ze korzystając ze wzoru na obrot o punkt?
probowałam tam robić ale zatrzymalam się na \(\displaystyle{ (-\cos\alpha - ysin(-\alpha),x\sin(-\alpha)-y\cos\alpha}\)

[octahedron]

Skoro obrócimy o kąt \(\displaystyle{ -\alpha}\), to uzyskamy z powrotem kąt początkowy, więc jest to funkcja odwrotna. Można też rozwiązać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}}\)

ze względu na \(\displaystyle{ x,y}\) i dostaniemy wtedy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=x'\cos\alpha+y'\sin\alpha=x'\cos(-\alpha)-y'\sin(-\alpha)\\y=-x'\sin\alpha+y'\cos\alpha=x'\sin(-\alpha)+y'\cos(-\alpha)\end{cases}}\)

no i widać, że \(\displaystyle{ (\varphi_{\alpha})^{-1}=\varphi_{-\alpha}}\)