układy wektorów jednostkowych

[prawyakapit]

Znaleźć wszystkie takie układy u, v, w wektorów jednostkowych (wersorów) w \(\displaystyle{ R^{3}}\),
że
a) \(\displaystyle{ u=( \frac{1}{3} , \frac{2}{3}, \frac{2}{3})}\)
b) pierwsza współrzędna v jest równa 0,
c) wektory u, v, w są parami prostopadłe.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \begin{cases}\vec{u}\cdot\vec{v}=0\\\vec{u}\cdot\vec{w}=0\\\vec{v}\cdot\vec{w}=0\\|\vec{v}|=1\\|\vec{w}|=1\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}\frac{2}{3}v_2+\frac{2}{3}v_3=0\\\frac{1}{3}w_1+\frac{2}{3}w_2+\frac{2}{3}w_3=0\\v_2w_2+v_3w_3=0\\v_2^2+v_3^2=1\\w_1^2+w_2^2+w_3^2=1\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}v_2=-v_3\\w_1+2w_2+2w_3=0\\w_3=w_2\\v_2^2+v_3^2=1\\w_1^2+w_2^2+w_3^2=1\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}v_2=-v_3\\w_1=-4w_2\\w_3=w_2\\|v_3|=\frac{1}{\sqrt{2}}\\|w_2|=\frac{1}{3\sqrt{2}}\end{cases}\\\\}\)

i mamy cztery możliwości

[prawyakapit]

mógłbyś to jakoś wyjaśnić bo nie rozumiem

[octahedron]

Mamy zapisane warunki prostopadłości, czyli zerowanie się iloczynów skalarnych wektorów, oraz to, że wektory mają mieć jednostkową długość.