Witam!
Zdaję sobie sprawę, że problem jaki chcę przedstawić bardziej podpada pod geometrię różniczkową, ale nie mogłem takiego działu znaleźć.
Piszę pewien programik komputerowy z zastosowaniem biblioteki 3D. Jednym z elementów programu jest wykreślenie w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) krzywej o następującym równaniu parametrycznym:
\(\displaystyle{ x(t)=a_{1} \cdot t^{2}+b_{1}\cdot t+c_{1}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=a_{2}\cdot t^{2}+b_{2}\cdot t+c_{2}}\)
\(\displaystyle{ z(t)=t}\)
(współrzędne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) punktów należących do krzywej zadane są jako wielomiany drugiego stopnia parametru \(\displaystyle{ t}\); współrzędna \(\displaystyle{ z}\) jest równa wartości parametru \(\displaystyle{ t}\))
Z eksperymentów numerycznych i wizualizacji w 3D wygląda na to, że jest to krzywa płaska, choć tego nie udowodniłem.
Chcę w programie uzyskać coś takiego - chciałbym wyznaczyć współrzędne jej "wierzchołka", czyli punktu o największej krzywiźnie. Najwyraźniej punkt taki istnieje, bo gdy na krzywą "spojrzy się" z kierunku prostopadłego do płaszczyzny, w której ona leży (lub ogólnie "z boku"), to krzywa ta z kształtu wygląda jak parabola (chociaż nie wiem czy nią jest) ergo ma "wierzchołek" - punkt o przynajmniej intuicyjnie maksymalnej krzywiźnie (minimalnym promieniu krzywizny). Jak wyznaczyć jego współrzędne \(\displaystyle{ (x_{w},y_{w},z_{w})}\)
P.S.
Oczywiście potrafię znaleźć równanie płaszczyzny, na której leży krzywa (o ile na pewno jest krzywą płaską). Pytanie: czy i jak wykorzystać to równanie do znalezienia punktu o maksymalnej krzywiźnie?
Znam też oczywiście ogólne wzory na krzywiznę krzywej sparametryzowanej jej długością \(\displaystyle{ s=f(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ ds= \sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}+[z'(t)]^{2}}dt}\), ale uzyskuję dosyć skomplikowane zależności i nie dochodzę do końca rozważań. Może jednak z uwagi na szczególną postać rozpatrywanej krzywej (przypuszczalna płaskość oraz fakt, że \(\displaystyle{ z(t)=t}\)) udałoby się jakoś uprościć obliczenia i sprytnie znaleźć rozwiązanie problemu -- 23 kwietnia 2012, 08:42 --Już wiem na pewno, że krzywa jest płaska, ponieważ w każdym jej punkcie znika jej skręcenie (torsja). Wynika to z faktu, że poniższy wyznacznik ma zawsze wartość zero!
\(\displaystyle{ det\left[\begin{matrix}
x'(t) \ y'(t) \ z'(t)\\
x''(t) \ y''(t) \ z''(t)\\
x'''(t) \ y'''(t) \ z'''(t)\\
\end{matrix}\right]=0}\)
Dzieje się tak oczywiście dlatego, że \(\displaystyle{ x'''(t)=y'''(t)=z'''(t)=0}\), a co za tym idzie trzeci wiersz w macierzy jest zerowy, czyli cały wyznacznik ma też wartość zero. Skręcenie krzywej znika - krzyw jest płaska.